高中数学第一章不等关系与基本1.3平均值不等式素材

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1、平均值不等式一、引入：1．定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：指出定理适用范围：强调取“=”的条件。2．定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）证明：∵∴即：当且仅当时注意：（1）这个定理适用的范围：；（2）语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3．定理3：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：∵∵∴上式≥0从而指出：这里∵就不能保证。推论：如果，那么。（当且仅当时取“=”）证明：34．算术—几何平均不等式：①如果则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数；②基本不等

2、式：≥（）这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。③的几何解释：以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’^AB则，从而，而半径。二、典型例题：例1已知为两两不相等的实数，求证：。证：∵以上三式相加：∴3例2设为正数，求证：。例3设，，，…，为正数，证明：。例4若，设求证：加权平均；算术平均；几何平均；调和平均证：∵∴即：（俗称幂平均不等式）由平均不等式即：综上所述：3