高中数学1.2.3空间中的垂直关系1课堂探究新人教B版必修

高中数学1.2.3空间中的垂直关系1课堂探究新人教B版必修

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1、1.2.3空间中的垂直关系1课堂探究探究一线面垂直的判定(1)利用直线与平面垂直的判定定理来判定直线与平面垂直的步骤:①在这个平面内找两条直线,使它们和这条直线垂直;②确定这个平面内的两条直线是相交的直线;③根据判定定理得出结论.(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧:证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.【典型例题1】如图所示,直角△ABC所在平面外

2、有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.思路分析:由于D是AC的中点,SA=SC,则SD是△SAC的高,连接BD,可证△SDB≌△SDA.由于AB=BC,所以Rt△ABC是等腰直角三角形,则BD⊥AC,利用线面垂直的判定定理即可得证.证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,连接BD.则AD=DC=BD.又因为SB=SA,SD=SD,所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,

3、所以SD⊥平面ABC.(2)因为BA=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD,AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.探究二线面垂直的判定定理与推论的应用(1)平面内证明线线平行的四种方法:①两条直线被第三条直线所截,若同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补),则两直线平行.②三角形中位线、梯形中位线的性质.③平行四边形对边平行的性质.④平行线分线段成比例定理.(2)空间中证明线线平行的四种方法:①(基本性质4)平行于同一条直线的两条直线平行.②(线面平行的性质定理)如果一条直线与一个平面平

4、行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.③(面面平行的性质定理)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.④(线面垂直的性质定理)如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.【典型例题2】如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:MN∥AD1.证明:因为ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A

5、1DC,所以MN∥AD1.探究三距离问题求点到平面距离的基本步骤是:①找到或作出要求的距离;②使所求距离在某一个三角形中;③在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.【典型例题3】如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.思路分析:作出点到平面的垂线,进一步求出垂线段的长.证明:过P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.因为PA=PB=PC=a,所以△PAO≌△PBO≌△PCO.所以OA=OB=OC

6、,所以O为△ABC的外心.因为PA,PB,PC两两垂直,所以AB=BC=CA=,所以△ABC为正三角形,所以OA=AB=,所以PO==.所以点P到平面ABC的距离为.探究四易错辨析易错点:忘记分类讨论而致误【典型例题4】已知:线段AB的中点为O,O∈平面α.求证:A,B两点到平面α的距离相等.错解:如图所示,过点A,B作平面α的垂线,垂足分别为A1,B1,则AA1,BB1分别是点A、点B到平面α的距离.在Rt△AA1O和Rt△BB1O中,AO=BO,∠B1OB=∠A1OA,所以Rt△AOA1≌Rt△BOB1,所

7、以AA1=BB1,即A,B两点到平面α的距离相等.错因分析:错误的原因有两种:一是忽略了AB⊂α的情况;二是认为∠AOA1和∠BOB1为对顶角而相等,其实应说明B1,O,A1三点共线才行.正解:(1)当线段AB⊂平面α时,显然A,B到平面α的距离均为0,相等.(2)当AB平面α时,如图,分别过点A,B作平面α的垂线,垂足分别为A1,B1,则AA1,BB1分别是点A、点B到平面α的距离,且AA1∥BB1.所以AA1与BB1确定一个平面,设为β,则α∩β=A1B1.因为O∈AB,AB⊂β,所以O∈β.又因为O∈α,

8、所以O∈A1B1.所以∠AOA1=∠BOB1.又AA1⊥A1O,BB1⊥B1O,AO=BO,所以Rt△AA1O≌Rt△BB1O.所以AA1=BB1,即A,B两点到平面α的距离相等.

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