数学：1.2.3《空间中的垂直关系》教案（新人教b版必修2）

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1、空间中的垂直关系一.教学内容：空间中的垂直关系二、学习目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：①判定定理：.②b⊥α,a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a⊥βa

2、⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，aβa⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（a⊥α，b⊥α⇒a∥b）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面

3、垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。【典型例题】例1、（1）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）A、m⊥n，m∥α，n∥βB、m⊥n，α∩β=m，nαC、m∥n，n⊥β，mαD、m

4、∥n，n⊥β，m⊥α（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。其中错误的命题为（）A、①与②B、②与③C、③与④D、仅②（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α。这四个结论中，不正确的三个是（）解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直。对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面β不一定垂直

5、，平面α、β也不一定垂直。对D，m⊥α，m∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β。只有C正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又mα，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β。故选C。（2）①正确，过a上任一点作b的平行线b′，则ab′确定唯一平面。②错误，假设成立则b⊥该平面，而a该平面，∴a⊥b，但a、b异面却不一定垂直。③正确，分别过a、b上的任一点作b、a的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误选D（3）丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m（或n），在另一平面作交线的垂线n（或m）即可推翻甲、

6、乙、丁三项。思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。例2、如图，ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面ABCD。PA=a。（1）求证：PC⊥CD。（2）求点B到直线PC的距离。（1）证明：取AD的中点E，连AC、CE，则ABCE为正方形，ΔCED为等腰直角三角形，∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD上的射影，∴PC⊥CD（2）解：连BE，交AC于O，则BE⊥AC，又BE⊥PA，AC∩PA=A，∴BE⊥平面PAC过O作OH⊥PC于H，则BH⊥PC，∵PA=a，AC=a,PC=a，∴OH=，∵BO

7、=a，∴BH=即为所求。例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC（1）若D是BC的中点，求证AD⊥CC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证截面MBC1⊥侧面BB1C1C；（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由。命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。错解分析：（3）的结论在证必要性时