九年级数学上册4.2用配方法解一元二次方程巧用配方法解题素材新青岛版

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1、巧用配方法解题配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式．配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．一、用配方法解方程例1解方程：2x2－3x+1=0．分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1．将二次项的系数化为1；2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；4．将方程化为(x+m)2=n的形式；5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）．解：方程两边都除以2，得移项，得配方，得，，即

2、或所以x1=1，二、用配方法分解因式例2把x2+4x-1分解因式．分析：在原式中加上4的同时又减去4．解：原式=x2+4x+4-4-1=x2+4x+4-5=(x+2)2-=三、用配方法求代数式的值例3已知实数a，b满足条件：，求—ab的平方根．分析：一个方程含有两个未知数，看似无法求出a，b．3但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a，b的值．解：∵，∴，即，∴∴±四、用配方法求代数式的最大（小）值例4代数式2x2-3x-1有最大值或最小值吗？求出此值．分析：代数式2x2-3x-1的值随x的变化而

3、变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值．解：2x2-3x-1=2(x2-x)-1=2(x-)2+∴当时，有最小值0，∴当时，2x2-3x-1有最小值为．五、用配方比较两个代数式的大小例5对于任意史实数x，试比较两个代数式3x3-2x2-4x+1与3x3+4x+10的值的大小．分析：比较两个代数式的大小，可以作差比较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小．解：（3x2-2x2-4x+1）-（3x3+4x+10

4、）=-2x2-8x-9=-2(x+2)2-1<0，所以对于任意实数x，恒有3x3-2x2-4x+1<3x3+4x+10．六、用配方法证明等式和不等式例6已知方程中(a2+b2)x2-2b(a+c)x+b2+c2=0中字母a，b，c都是实数．求证：3分析：一个方程含有四个未知数，看似无法求出a，b，c，x．但仔细观察发现，方程左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a，b，c，x之间的关系．证明：原方程坐标拆成两个二次三项式为：(a2x2-2abx+b2)+(b2x2-2bcx+c2)=0，∴(ax-b)2+(bx-c)

5、2=0．∵a，b，c，x都是实数，∴(ax-b)2≥0,(bx-c)2≥0．∴ax-b=0,bx-c=0．∴3