北航数值分析第一次大作业(幂法反幂法)

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1、一、问题分析及算法描述1.问题的提出：（1）用幂法、反幂法求矩阵A=aij20×20的按摸最大和最小特征值，并求出相应的特征向量。其中aij=sin0.5i+0.2ji≠j1.5cosi+1.2ji=j要求：迭代精度达到10-12。（2）用带双步位移的QR法求上述的全部特征值，并求出每一个实特征值相应的特征向量。2.算法的描述：(1)幂法幂法主要用于计算矩阵的按摸为最大的特征值和相应的特征向量。其迭代格式为：任取非零向量u0=h1(0)，⋯，hn(0)Thr(k-1)=max1≤j≤nhrk-1yk-1=uk-1hrk-1uk=Ayk-1=h1k，⋯，hnkTβk

2、=sgnhrk-1hrk(k=1，2，⋯)终止迭代的控制选用≤ε。幂法的使用条件为n×n实矩阵A具有n个线性无关的特征向量x1，x2，⋯，xn，其相应的特征值λ1，λ2，⋯，λn满足不等式λ1>λ2≥λ3≥⋯≥λn或λ1=λ2=⋯=λmλ1>λm+1≥λm+2≥⋯≥λn幂法收敛速度与比值λ2λ1或λm+1λ1有关，比值越小，收敛速度越快。(2)反幂法反幂法用于计算n×n实矩阵A按摸最小的特征值，其迭代格式为：任取非零向量u0∈Rnηk-1=uk-1Tuk-1yk-1=uk-1ηk-1Auk=yk-1βk=yk-1ukk=1，2，⋯每迭代一次都要求解一次线性方程组A

3、uk=yk-1。当k足够大时，λn≈1βk，yk-1可近似的作为矩阵A的属于λn的特征向量。比值λnλn-1越小，收敛的越快。反幂法要求矩阵A非奇异。(3)带双步位移的QR分解法QR方法适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。本算例中采用带双步位移的QR方法，可加速收敛，其迭代格式为：A1=A(n-1)Ak-s1(k)I=QkRk对Ak-s1kI作QR分解Ak+1=RkQk+s1kIAk+1-s2kI=Qk+1Rk+1(对Ak+1-s2kI作QR分解)Ak+2=Rk+1Qk+1+s2kI(k=1，3，5，⋯)二、计算结果及分析1.

4、计算结果：(1)幂法：初始条件：最大迭代次数L=1000；向量u0=1，0，⋯，0计算结果：第1次迭代结果：最大特征值：0.00000e+000第2次迭代结果：最大特征值：2.48910e+000相对误差：1.00000e+000第3次迭代结果：最大特征值：1.67719e+000相对误差：4.84085e-001第4次迭代结果：最大特征值：-2.10960e+000相对误差：1.79503e+000第5次迭代结果：最大特征值：-6.13203e-001相对误差：2.44030e+000……第794次迭代结果：最大特征值：-1.97638e+000相对误差：4.3

5、0074e-011第795次迭代结果：最大特征值：-1.97638e+000相对误差：3.04354e-013********************最终迭代结果***************特征值：-1.97638e+000相对误差：3.04354e-013迭代次数：795(2)反幂法：初始条件：最大迭代次数L=1000；向量u0=1，0，⋯，0运行结果：第1次迭代结果：最大特征值：1.07542e+000第2次迭代结果：最大特征值：-3.66550e+000相对误差：1.29339e+000第3次迭代结果：最大特征值：1.22709e+001相对误差：1.29

6、871e+000第4次迭代结果：最大特征值：-1.03421e+000相对误差：1.28650e+001第5次迭代结果：最大特征值：-5.46339e-001相对误差：8.92983e-001……第995次迭代结果：最大特征值：-3.24922e-001相对误差：6.61387e-003第996次迭代结果：最大特征值：-3.27176e-001相对误差：6.88964e-003第997次迭代结果：最大特征值：-3.29570e-001相对误差：7.26527e-003第998次迭代结果：最大特征值：-3.32147e-001相对误差：7.75893e-003第99

7、9次迭代结果：最大特征值：-3.34960e-001相对误差：8.39573e-003第1000次迭代结果：最大特征值：-3.38073e-001相对误差：9.20985e-003******************************超过最大设定迭代次数，迭代失败！(3)带双步位移的QR法：初始条件：最大迭代次数L=1000；向量u0=1，0，⋯，0运行结果：全部特征值：0.747738+i*0.000000-0.316674+i*0.025741-0.316674+i*-0.0257410.488580+i*0.1393760.488580+i*-0.13

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