北航 数值分析-lec7-幂法和反幂法

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1、朱立永北京航空航天大学数学与系统科学学院数值分析Email:numerical_analysis@hotmail.comPassword:beihang2013答疑时间：星期三下午2:00－5:00答疑地点：主216第七讲矩阵特征值与特征向量的计算----幂法和反幂法第三章矩阵特征值与特征向量的计算特征值的应用背景求系统的固有振动频率求机械系统的振动频谱（模态）系统的稳定性分析物理学中的某些临界值的确定常用的数值求特征值的方法幂法与反幂法Jacobi法QR分解法…….幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ1及其对

2、应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。QR方法是一种变换方法，是计算一般(中小型)矩阵全部特征值问题的最有效方法之一.Jacobi是一种求实对称矩阵A的全部特征值及其对应的特征向量的方法。特别适合于中小型对称矩阵。幂法与反幂法我们来看下面的一个过程：任取一个非零的n维向量u0，从u0出发，按照如下的递推公式uk＝Auk-1产生的向量序列{uk}，我们来分析这个序列的收敛情况。假设实矩阵A具有n个线性无关的特征向量x1,x2,…,xn相应的特征值λ1,λ2,…,λn满足

3、λ1

4、>

5、λ2

6、≥

7、λ3

8、≥…≥

9、λ

10、n

11、，于是存在不全为零的数组α1,α2,…,αn,使得当α1≠0时有即uk可以近似的作为属于λ1的特征向量！几点注记：在上述假设条件下λ1必为实数；如果α1＝0将会怎样？该方法的本质是uk＝Aku0，因此得名幂方法；为防止uk过大或过小，我们在每一步迭代中，对迭代向量单位化。实际使用的迭代公式为：于是可得不同范数选取下的特征值的计算1.取范数为2－范数时对应的迭代公式2.取范数为∞－范数时对应的迭代公式设uk＝(h1,h2,…,hn)T，其模最大的分量为hr，令1.A的最大特征值是m重时，幂方法仍然有效2.幂方法的

12、收敛速度与

13、λ1/λ2

14、有关反幂法假设实矩阵A具有n个线性无关的特征向量x1,x2,…,xn相应的特征值λ1,λ2,…,λn满足

15、λ1

16、≥

17、λ2

18、≥

19、λ3

20、≥…≥

21、λn-1

22、>

23、λn

24、对于A-1应用幂方法取范数为2－范数时的迭代公式对应的迭代公式同理，我们可以对(A-pI)-1用幂法－称为带原点平移的幂法取范数为2－范数时的迭代公式对应的迭代公式类似地，我们可以对(A-pI)用幂法得到A的一个特征值和特征向量对应的迭代公式作业教材第65页：习题1、3，6，7课外阅读：《C数值算法》第11章