北航数值分析大作业 第一题 幂法与反幂法.doc

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1、《数值分析》计算实习题目第一题：1.算法设计方案（1），和的值。1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。2)使用反幂法求λs，其中需要解线性方程组。因为A为带状线性方程组，此处采用LU分解法解带状方程组。（2）与最接近的特征值。通过带有原点平移的反幂法求出与数最接近的特征值。（3）和。1），其中和分别是按模最大和最小特征值。2）利用步骤（1）中分解矩阵A得出的LU矩阵，L为

2、单位下三角阵,U为上三角阵，其中U矩阵的主对角线元素之积即为。由于A的元素零元素较多，为节省储存量，将A的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A中的元素。2.全部源程序#include#includevoidinit_a();//初始化Adoubleget_an_element(int,int);//取A中的元素函数doublepowermethod(double);//原点平移的幂法doubleinversepow

3、ermethod(double);//原点平移的反幂法intpresolve(double);//三角LU分解intsolve(double[],double[]);//解方程组intmax(int,int);intmin(int,int);double(*u)[502]=newdouble[502][502];//上三角U数组double(*l)[502]=newdouble[502][502];//单位下三角L数组doublea[6][502];//矩阵Aintmain(){inti,k;doubl

4、elambdat1,lambdat2,lambda1,lambda501,lambdas,mu[40],det;doublelambda[40];init_a();//初始化Alambdat1=powermethod(0);lambdat2=powermethod(lambdat1);lambda1=lambdat1lambdat2?lambdat1:lambdat2;presolve(0);lambdas=i

5、nversepowermethod(0);det=1;for(i=1;i<=501;i++)det=det*u[i][i];for(k=1;k<=39;k++){mu[k]=lambda1+k*(lambda501-lambda1)/40;presolve(mu[k]);lambda[k]=inversepowermethod(mu[k]);}printf("------------所有特征值如下------------");printf("λ=%1.11eλ=%1.11e",lambda1,l

6、ambda501);printf("λs=%1.11e",lambdas);printf("cond(A)=%1.11e",fabs(lambdat1/lambdas));printf("detA=%1.11e",det);for(k=1;k<=39;k++){printf("λi%d=%1.11e",k,lambda[k]);if(k%3==0)printf("");}delete[]u;delete[]l;//释放堆内存return0;}voidinit_a()//初始化A{inti

7、;for(i=3;i<=501;i++)a[1][i]=a[5][502-i]=-0.064;for(i=2;i<=501;i++)a[2][i]=a[4][502-i]=0.16;for(i=1;i<=501;i++)a[3][i]=(1.64-0.024*i)*sin(0.2*i)-0.64*exp(0.1/i);}doubleget_an_element(inti,intj)//从A中节省存储量的提取元素方法{if(fabs(i-j)<=2)returna[i-j+3][j];elsereturn

8、0;}doublepowermethod(doubleoffset)//幂法{inti,x1;doubleu[502],y[502];doublebeta=0,prebeta=-1000,yita=0;for(i=1;i<=501;i++)u[i]=1,y[i]=0;//设置初始向量u[]for(intk=1;k<=10000;k++){yita=0;for(i=1;i<=501;i++)yita=sqrt(yita*yita+u[i]*u