2017_18版高中数学章末复习课学案

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1、第一章导数及其应用题型一　导数与曲线的切线利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．例1　已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2

2、ln2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值．(2)证明　令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0.故g(x)在R上单调递

3、增，又g(0)＝1>0，因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2

4、>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．例2　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；(2)f(x)＝x(x－a)2.解　(1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，又x∈(0，＋∞)，∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)．6(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax

5、2＋a2x的定义域为R，由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a.①当a>0时，x1x2，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(，＋∞)，单调递减区间为(a，)．③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是单调递增的．综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(a，＋∞)，单调递减区间为(，a)；a<0时，函数f(x)的单调

6、递增区间为(－∞，a)，(，＋∞)，单调递减区间为(a，)；a＝0时，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)．跟踪训练2　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝xlnx.解　(1)函数的定义域是[0,2π]，f′(x)＝cosx，令cosx>0，解得2kπ－

7、令lnx＋1>0得x>e－1，因此，f(x)的单调递增区间是(e－1，＋∞)，单调递减区间是(0，e－1)．题型三　数形结合思想在导数中的应用61．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求

8、得的极植与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一个点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处f(x)