2017_18学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程教学案

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1、2．1.1　椭圆及其标准方程[学习目标]　1.了解椭圆的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．[知识链接]命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和

2、PA

3、＋

4、PB

5、＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　若P点的轨迹是椭圆，则一定有

6、PA

7、＋

8、PB

9、＝2a(a>0，且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件．若

10、PA

11、＋

12、PB

13、＝2a(a

14、>0，且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆．这是因为：仅当2a>

15、AB

16、时，P点的轨迹是椭圆；而当2a＝

17、AB

18、时，P点的轨迹是线段AB；当2a<

19、AB

20、时，P点无轨迹．所以命题甲不是命题乙的充分条件．综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件．[预习导引]1．椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于

21、F1F2

22、)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点(－c,0)(c,0)(0，－c)(0，c)a、b

23、、c的关系c2＝a2－b2c2＝a2－b27要点一　用待定系数法求椭圆的标准方程例1　(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程．解　(1)方法一　因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知2a＝＋＝2，所以a＝.又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二　设标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意得，解得.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)方法一　当椭圆的焦点在x轴

24、上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴　则∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1)，∴　则即与a>b矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.方法二　设椭圆方程为7mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴　∴综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.规律方法　求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方

25、程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上进行讨论，但要注意a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪演练1　求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以

26、设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为2a＝＋＝10,2c＝6，所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为2a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.所以所求椭圆标准方程为＋＝1.要点二　椭圆定义的应用例2如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．解　在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2，7∴c＝＝1.又∵P在椭圆上，∴

27、PF1

28、＋

29、PF2

30、＝2a

31、＝2①由余弦定理知：

32、PF1

33、2＋

34、PF2

35、2－2

36、PF1

37、·

38、PF2

39、·cos30°＝

40、F1F2

41、2＝(2c)2＝4②①式两边平方，得

42、PF1

43、2＋

44、PF2

45、2＋2

46、PF1

47、·

48、PF2

49、＝20③③－②，得(2＋)

50、PF1

51、·

52、PF2

53、＝16，∴

54、PF1

55、·

56、PF2

57、＝16(2－)，∴S△PF1F2＝

58、PF1

59、·

60、PF2

61、·sin30°＝8－4.规律方法在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定

62、理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系