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《2017_18学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程教学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．3.1 抛物线及其标准方程[学习目标] 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程．[知识链接]如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．画出的曲线是什么形状？点D在移动过程中，满足什么条件？答案 抛物线
2、DA
3、＝
4、DC
5、[预习导引]1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等
6、的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)(，0)x＝－y2＝－2px(p>0)(－，0)x＝x2＝2py(p>0)(0，)y＝－7x2＝－2py(p>0)(0，－)y＝要点一 求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(－2,0)；(2)准线为y＝－1；(3)过点A(2,3)；(4)焦点到准线的距离为.解 (1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为
7、y2＝－8x.(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，∴p＝2，∴抛物线标准方程为x2＝4y.(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2,3)的坐标代入，得32＝m·2,22＝n·3，∴m＝，n＝.∴所求抛物线方程为y2＝x或x2＝y.(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.∴所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.规律方法 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定
8、，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)．跟踪演练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x27＝－2p1y(p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.∴所求抛物线的标准方程为
9、y2＝x或x2＝－y.方法二 设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)或x2＝by(b≠0)．把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.要点二 抛物线定义的应用例2 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求
10、PA
11、＋
12、PF
13、的最小值，并求此时P点坐标．解 如图，作PQ⊥l于Q，
14、由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求
15、PA
16、＋
17、PF
18、的最小值的问题可转化为求
19、PA
20、＋d的最小值的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.∵>2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知
21、PA
22、＋
23、PF
24、＝
25、PA
26、＋d.由图可知，当PA⊥l时，
27、PA
28、＋d最小，最小值为.即
29、PA
30、＋
31、PF
32、的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.7∴点P坐标为(2,2)．规律方法 要注意抛物线的定义在解题中的作用，灵活地进行抛物线
33、上点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪演练2 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.B．2C.D.答案 A解析 如图，由抛物线定义知
34、PA
35、＋
36、PQ
37、＝
38、PA
39、＋
40、PF
41、，则所求距离之和的最小值转化为求
42、PA
43、＋
44、PF
45、的最小值，则当点P在第一象限且A、P、F三点共线时，
46、PA
47、＋
48、PF
49、取得最小值．又A(0,2)，F(，
50、0)，∴(
51、PA
52、＋
53、PF
54、)min＝
55、AF
56、＝＝.要点三 抛物线的实际应用例3 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线
