2017_18学年高中数学1.4绝对值的三角不等式学案

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1、1．4绝对值的三角不等式[读教材·填要点]绝对值的三角不等式(1)定理1：若a，b为实数，则

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、.当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：设a，b，c为实数，则

8、a－c

9、≤

10、a－b

11、＋

12、b－c

13、，等号成立⇔(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间．①推论1：

14、

15、a

16、－

17、b

18、

19、≤

20、a＋b

21、②推论2：

22、

23、a

24、－

25、b

26、

27、≤

28、a－b

29、[小问题·大思维]1．

30、a＋b

31、与

32、a

33、－

34、b

35、，

36、a－b

37、与

38、a

39、－

40、b

41、及

42、a

43、＋

44、b

45、分别具有什么关系？提示：

46、a

47、－

48、b

49、≤

50、a＋b

51、，

52、a

53、－

54、b

55、≤

56、a－b

57、≤

58、a

59、

60、＋

61、b

62、.2．不等式

63、a

64、－

65、b

66、≤

67、a±b

68、≤

69、a

70、＋

71、b

72、中“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式

73、a

74、－

75、b

76、≤

77、a＋b

78、≤

79、a

80、＋

81、b

82、，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且

83、a

84、≥

85、b

86、；不等式

87、a

88、－

89、b

90、≤

91、a－b

92、≤

93、a

94、＋

95、b

96、，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且

97、a

98、≥

99、b

100、.3．绝对值不等式

101、a－c

102、≤

103、a－b

104、＋

105、b－c

106、的几何解释是什么？提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，

107、AC

108、＝

109、AB

110、＋

111、BC

112、；

113、当点B不在点A，C之间时，

114、AC

115、<

116、AB

117、＋

118、BC

119、.绝对值的三角不等式的应用[例1]　(1)以下四个命题：①若a，b∈R，则

120、a＋b

121、－2

122、a

123、≤

124、a－b

125、；②若

126、a－b

127、＜1，则

128、a

129、＜

130、b

131、＋1；12③若

132、x

133、＜2，

134、y

135、＞3，则

136、

137、＜；④若AB≠0，则lg≥(lg

138、A

139、＋lg

140、B

141、)．其中正确的命题有(　　)A．4个　　　　　　　　B．3个C．2个D．1个(2)不等式≥1成立的充要条件是________．[思路点拨]　本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值的三角不等式定理，结合不

142、等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分

143、a

144、＞

145、b

146、与

147、a

148、<

149、b

150、两类讨论．[精解详析]　(1)

151、a＋b

152、＝

153、(b－a)＋2a

154、≤

155、b－a

156、＋2

157、a

158、＝

159、a－b

160、＋2

161、a

162、，∴

163、a＋b

164、－2

165、a

166、≤

167、a－b

168、，①正确；1＞

169、a－b

170、≥

171、a

172、－

173、b

174、，∴

175、a

176、＜

177、b

178、＋1，②正确；

179、y

180、＞3，∴＜.又∵

181、x

182、＜2，∴＜.③正确；2＝(

183、A

184、2＋

185、B

186、2＋2

187、A

188、

189、B

190、)，≥(2

191、A

192、

193、B

194、＋2

195、A

196、

197、B

198、)＝

199、A

200、

201、B

202、，∴2lg≥lg

203、A

204、

205、B

206、.∴lg≥(lg

207、A

208、＋lg

209、B

210、)，④正确．(2)当

211、a

212、>

213、b

214、时，

215、有

216、a

217、－

218、b

219、>0，∴

220、a＋b

221、≥

222、

223、a

224、－

225、b

226、

227、＝

228、a

229、－

230、b

231、.∴必有≥1.即

232、a

233、>

234、b

235、是≥1成立的充分条件．12当≥1时，由

236、a＋b

237、>0，必有

238、a

239、－

240、b

241、>0.即

242、a

243、>

244、b

245、，故

246、a

247、>

248、b

249、是≥1成立的必要条件．故所求为：

250、a

251、>

252、b

253、.[答案]　(1)A　(2)

254、a

255、＞

256、b

257、(1)绝对值的三角不等式：

258、a

259、－

260、b

261、＜

262、a±b

263、＜

264、a

265、＋

266、b

267、的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．(2)对

268、a

269、－

270、b

271、≤

272、a±b

273、≤

274、a

275、＋

276、b

277、的诠释：定理的构成部分特征大小关系等号成立的

278、条件左端

279、a

280、－

281、b

282、可能是负的≤中间部分中间部分为

283、a＋b

284、时，ab≤0，且

285、a

286、≥

287、b

288、时，左边的等号成立；中间部分为

289、a－b

290、时，ab≥0，且

291、a

292、≥

293、b

294、时，左边等号成立．中间部分

295、a±b

296、肯定是非负的≥左端≤右端用“＋”连接时，ab≥0，右端取等号，ab≤0，且

297、a

298、≥

299、b

300、时，左端取等号；用“－”连接时，ab≥0，且

301、a

302、≥

303、b

304、时，左端取等号，ab≤0，右端取等号．右端

305、a

306、＋

307、b

308、是非负的≥中间部分中间部分为

309、a＋b

310、时，ab≥0，等号成立；中间部分为

311、a－b

312、时，ab≤0，等号成立.1．(1)若x＜5，n∈N＋，

313、则下列不等式：①

314、xlg

315、＜5

316、lg

317、；②

318、x

319、lg＜5lg；12③xlg＜5

320、lg

321、；④

322、x

323、lg＜5

324、lg

325、.其中，能够成立的有________．(2)已知

326、a

327、≠

328、b

329、，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是(　　)A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m≤n解析：(1)∵0＜＜1.∴lg＜0.由x＜5，并不能确定

330、x

331、与5的关系，∴可以否定①②③，而

332、x

333、lg＜0，④成立．(2)∵

334、a

335、－

336、b

337、≤

338、a±b

339、≤

340、a

341、＋

342、b

343、，∴m＝≤＝1，n＝≥＝1.∴m≤1≤n.答案：(1)④　(2)D利用绝对值的三角不等式证明不等式[例2]　

344、已知a，b∈R且a≠0，求证：≥－.[思路点拨]　本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难．从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定．如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有

345、a

346、＞

347、