2017_18学年高中数学第一讲二1绝对值三角不等式同步配套教学案

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1、1．绝对值三角不等式　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P11绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有

8、a＋b

9、<

10、a

11、＋

12、b

13、，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．②若a，b共线，当a与b同向时，

14、a＋b

15、＝

16、a

17、＋

18、b

19、，当a与b反向时，

20、a＋b

21、<

22、a

23、＋

24、b

25、.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，则

26、

27、a

28、－

29、b

30、

31、≤

32、a±b

33、≤

34、a

35、＋

36、b

37、

38、.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么

39、a－c

40、≤

41、a－b

42、＋

43、b－c

44、.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，

45、a－c

46、＝

47、a－b

48、＋

49、b－c

50、.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，

51、a－c

52、＝

53、a－b

54、＋

55、b－c

56、；②点B不在A，C上时，

57、a－c

58、<

59、a－b

60、＋

61、b－c

62、.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P11含绝对值不等式的判断与证明[例1]　已知

63、A－a

64、<，

65、B－b

66、<，

67、C－c

68、<

69、.求证：

70、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

71、

72、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

73、＝

74、(A－a)＋(B－b)＋(C－c)

75、≤

76、(A－a)＋(B－b)

77、＋

78、C－c

79、≤

80、A－a

81、＋

82、B－b

83、＋

84、C－c

85、.7因为

86、A－a

87、<，

88、B－b

89、<，

90、C－c

91、<，所以

92、A－a

93、＋

94、B－b

95、＋

96、C－c

97、<＋＋＝s.含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式

98、

99、a

100、－

101、b

102、

103、

104、a±b

105、≤

106、a

107、＋

108、b

109、，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的

110、函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．已知

111、x

112、＜a，

113、y

114、＜b，则下列不等式中一定成立的是(　　)A．

115、x＋y

116、＜a＋b　　　　　B．

117、x－y

118、＜a－bC．

119、x

120、＋

121、y

122、≤a＋bD．

123、x

124、－

125、y

126、≤a－b解析：

127、x＋y

128、≤

129、x

130、＋

131、y

132、＜a＋b.答案：A2．设ε>0，

133、x－a

134、<，

135、y－a

136、<.求证：

137、2x＋3y－2a－3b

138、<ε.证明：

139、2x＋3y－2a－3b

140、＝

141、2(x－a)＋3(y－b)

142、≤

143、2(x－a)

144、＋

145、3(y－b)

146、＝2

147、x－a

148、＋3

149、y－b

150、<2×

151、＋3×＝ε.绝对值三角不等式的应用[例2]　(1)求函数y＝

152、x－3

153、－

154、x＋1

155、的最大值和最小值．(2)如果关于x的不等式

156、x－3

157、＋

158、x－4

159、＜a的解集为空集，求参数a的取值范围．[思路点拨]　利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解]　(1)法一：

160、

161、x－3

162、－

163、x＋1

164、

165、≤

166、(x－3)－(x＋1)

167、＝4，7∴－4≤

168、x－3

169、－

170、x＋1

171、≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.法二：把函数看作分段函数．y＝

172、x－3

173、－

174、x＋1

175、＝∴－4≤y≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.(2)只要a不大于

176、x－3

177、＋

178、x－4

179、的最小值，则

180、x－3

181、

182、＋

183、x－4

184、＜a的解集为空集，而

185、x－3

186、＋

187、x－4

188、＝

189、x－3

190、＋

191、4－x

192、≥

193、x－3＋4－x

194、＝1，当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立．∴当3≤x≤4时，

195、x－3

196、＋

197、x－4

198、取得最小值1.∴a的取值范围为(－∞，1]．(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且

199、a

200、≤3，

201、b

202、≤2则

203、a＋b

204、的最大值是________，最小值是________．解析：

205、a

206、－

207、b

208、≤

209、a＋b

210、≤

211、a

212、＋

213、b

214、，∴1＝

215、3－2≤

216、a＋b

217、≤3＋2＝5.答案：5　14．求函数f(x)＝

218、x－1

219、＋

220、x＋1

221、的最小值．解：∵

222、x－1

223、＋

224、x＋1

225、＝

226、1－x

227、＋

228、x＋1

229、≥

230、1－x＋x＋1

231、＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号．∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝

232、x－1

233、＋

234、x＋1

235、取得最小值2.5．若对任意实数，不等式

236、x＋1

237、－

238、x－2

239、>a恒成立，求a的取值范围．解：a<

240、x＋1

241、－

242、x－2

243、对任意实数恒成立，∴a<[

244、x＋1

245、－

246、x－2

247、]min.7∵

248、

249、x＋1

250、－

251、x－2

252、

253、≤

254、(x＋1)－(x－2)

255、＝3，∴－3≤

256、x＋1

257、－

258、x－

259、2

260、≤3.∴(

261、x＋1

262、－

263、x－2

264、)min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．对应学生用书P121．对于