2019_2020学年高中数学课时分层作业15椭圆的简单性质（含解析）北师大版

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1、课时分层作业(十五)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0，4)，(3，0)，则该椭圆的焦点坐标是(　　)A．(±1，0)　　　　　　B．(0，±1)C．(±，0)D．(0，±)D　[由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，所以c＝＝＝，所以椭圆的焦点坐标是(0，±)，故选D.]2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为(　　)A.B.C.D.A　[由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.]3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差

2、数列，则该椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.B　[由题意有，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．]4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1D　[由右焦点为F(1，0)可知c＝1，因为离心率等于，即＝，故a＝2，由a2＝b2＋c2知b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.故选D.]5．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，

3、点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)A．2　　　B．3C．6　　　　D．8C　[设P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.又∵F(－1，0)，∴·＝x0·(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2，2]，∴(·)∈[2，6]，∴(·)max＝6.]二、填空题6．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．＋x2＝1　[由已知，2a＝8，2c＝2，∴a＝4，c＝，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为＋x

4、2＝1.]7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率00，∴a2>1，∴1

5、F1F2

6、＝2c，∴

7、AF1

8、＝c，

9、AF2

10、＝c.由椭圆定义知：c＋c＝2a，即(＋1)c＝2a.∴

11、e＝＝＝－1.]三、解答题9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[解]　椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，∵m－＝＞0，∴m＞，即a2＝m，b2＝.∴c＝＝.由e＝，得＝，解得m＝1，∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.∴a＝1，b＝，c＝.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1，F2，顶点坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.10．如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，

12、Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若

13、PF1

14、＝2＋，

15、PF2

16、＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若

17、PF1

18、＝

19、PQ

20、，求椭圆的离心率e.[解]　(1)由椭圆的定义，有2a＝

21、PF1

22、＋

23、PF2

24、＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝

25、F1F2

26、＝＝＝2.即c＝，从而b＝＝1，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)如图，由椭圆的定义，

27、PF1

28、＋

29、PF2

30、＝2a，

31、QF1

32、＋

33、QF2

34、＝2a，从而由

35、PF1

36、＝

37、PQ

38、＝

39、PF2

40、＋

41、QF2

42、，得

43、QF1

44、＝4a－2

45、

46、PF1

47、.又由PF1⊥PQ，

48、PF1

49、＝

50、PQ

51、，知

52、QF1

53、＝

54、PF1

55、，因此4a－2

56、PF1

57、＝

58、PF1

59、，则

60、PF1

61、＝2(2－)a，从而

62、PF2

63、＝2a－

64、PF1

65、＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.由PF1⊥PF2，知

66、PF1

67、2＋

68、PF2

69、2＝

70、F1F2

71、2＝(2c)2，因此e＝＝＝＝＝－.[能力提升练]1．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为(　　)A．8，6B．4，3C．2，D．4，2B　[椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是.∴最长的弦为2a＝4，最短的弦为＝

72、＝3，故选B.]2．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是(　　)A．3B．3或C.D.或B　[若焦点在x轴上，则a＝，由＝得c＝，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴＝，∴m＝.]3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是________．＋＝1　[设椭圆的标准