2019_2020学年高中数学课时分层作业6椭圆的简单性质（含解析）北师大版选修

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1、课时分层作业(六)　椭圆的简单性质(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是(　　)A．3　　B．3或C.D.或B　[若焦点在x轴上，则a＝，由＝得c＝，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴＝，∴m＝.]2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)A．8,2B．5,4C．5,1D．9,1D　[由题意知a＝5，b＝3，c＝4，∴a＋c＝9，a－c＝1，故点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别为9,1

2、.]3．焦点在x轴上，长、短轴长之和为20，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1A　[∵c＝2，∴a2＝(2)2＋b2，又a＋b＝10，可解得a＝6，b＝4.故椭圆方程为＋＝1.]4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)A.B.C.D.C　[由题意可得

3、PF2

4、＝

5、F1F2

6、，∴2＝2c.∴3a＝4c.∴e＝.]5．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2

7、的取值范围是(　　)A．(0,1]B．[1,2]C．(0,2]D．[2，＋∞)B　[因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B.]二、填空题6．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________．[解析]　由题意2b>2c，即b>c，即>c，∴a2－c2>c2，则a2>2c2.∴<，∴0

8、在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．[解析]　设P点到x轴的距离为h，则S△PF1F2＝

9、F1F2

10、h，当P点在y轴上时，h最大，此时S△PF1F2最大，∵

11、F1F2

12、＝2c＝8，∴h＝3，即为b＝3.[答案]　38．椭圆＋y2＝1上到点C(1,0)的距离最小的点P的坐标为________．[解析]　设点P(x，y)，则

13、PC

14、2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋＝x2－2x＋2＝2＋.∵－2≤x≤2，∴当x＝时，

15、PC

16、min＝，此时点P的坐标为或.[答案]　或三

17、、解答题9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．[解]　(1)∵c＝＝，∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.∴椭圆的标准方

18、程为＋＝1.10．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，

19、AF1

20、＝3

21、F1B

22、.(1)若

23、AB

24、＝4，△ABF2的周长为16，求

25、AF2

26、；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．[解]　(1)由

27、AF1

28、＝3

29、F1B

30、，

31、AB

32、＝4，得

33、AF1

34、＝3，

35、F1B

36、＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，

37、AF1

38、＋

39、AF2

40、＝2a＝8.故

41、AF2

42、＝2a－

43、AF1

44、＝8－3＝5.(2)设

45、F1B

46、＝k，则k>0且

47、AF1

48、

49、＝3k，

50、AB

51、＝4k.由椭圆定义可得

52、AF2

53、＝2a－3k，

54、BF2

55、＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得

56、AB

57、2＝

58、AF2

59、2＋

60、BF2

61、2－2

62、AF2

63、·

64、BF2

65、cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0.而a＋k>0，故a＝3k.于是有

66、AF2

67、＝3k＝

68、AF1

69、，

70、BF2

71、＝5k.因此

72、BF2

73、2＝

74、F2A

75、2＋

76、AB

77、2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离

78、心率e＝＝.[能力提升练]1．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为(　　)A.B.C.D.B　[由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．设M(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3.　①又因为点M在椭圆＋y2＝1上，即y2＝1－.　②将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.故点M到y轴的距离为.]2．已知F1、