2019_2020学年高中数学第5章数系的扩充与复数的引入22.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法学案北师大版

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1、2.1　复数的加法与减法2.2　复数的乘法与除法学习目标核心素养1．理解共轭复数的概念．(重点)2．掌握复数的四则运算法则与运算律．(重、难点)1．借助坐标系理解共轭复数，提升学生的直观想象的核心素养.2．通过复数代数形式的运算的学习，培养学生的数学运算的核心素养.1．复数的加法与减法(1)复数的加法设a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的加法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)复数的减法设a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的减法如下：(a＋bi)－(

2、c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.2．复数的乘法与除法(1)复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(3)共轭复数如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z的共轭复数用来表示，即z＝a＋bi，则＝a－bi.(4)复数的除

3、法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i.1．复数的共轭复数是(　　)A．－iB．iC．－iD．iD　[＝＝＝i.]2．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于(　　)A．0　　B.＋iC.－iD.－iC　[z1＋z2＝＋i＝－i.]3．(1＋i)2－＝________.－＋i　[∵(1＋i)2－＝2i－＝－＋i.]复数的加法与减法运算【例1】　(1)＋(2－i)－＝________.(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.(3)已知复数z满足

4、z

5、＋z＝1＋3i，求z.思路探究：(1)根据复数的加法与减法

6、法则计算．(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，根据复数相等计算或把等式看作z的方程，通过移项求解．(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则

7、z

8、＝，再根据复数相等求解．(1)1＋i　[＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.](2)[解]　法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则

9、z

10、＝，又

11、z

12、＋z＝1＋3i，所以＋x＋y

13、i＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.1．复数加法与减法运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有

14、z

15、与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．1．(1)复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)A．－1＋iB．1－i　　　C．i　　　D．－i(2)已知

16、z

17、＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.(1)A　(2)3i　[(1)(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.(

18、2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是纯虚数，则由①可得y＝3.∴z＝3i.]复数的乘法与除法运算【例2】　已知复数z1＝1＋i，z2＝3－2i.试计算：(1)z1·z2和z；(2)z1÷z2和z÷z1．思路探究：按照复数的乘法和除法法则进行．[解]　(1)z1·z2＝3－2i＋3i－2i2＝5＋i.z＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i2＝－4.(2)z1÷z2＝＝＝＝＋i.z÷z1＝＝＝＝＝－－i.复数运算中的几点结论1．∈R⇒＝(cd≠0)⇒ad－bc＝0；为纯虚数⇒ac＋bd＝0且bc－a

19、d≠0.2．(a＋bi)(c＋di)∈R⇔∈R⇒＝(cd≠0)⇒ad＋bc＝0；(a＋bi)(c＋di)为纯虚数⇔为纯虚数⇒ac－bd＝0且ad＋bc≠0.可以类比向量共线(实数)与垂直(纯虚数)来记忆上述两个结论．注意：以上结论中：c＋di≠0.2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　)A．＋i　　　　B．－iC．－＋iD．－－i(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则

20、z

21、＝(　　)A．1B．2C．D．(1)B　(2)C　[(1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．∴z＝＝＝＝－i.(2)∵z(1＋i)＝2i，∴

22、z＝＝＝1＋i，∴

23、z

24、＝＝.]共轭复数[探究问题]1．两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是