2019_2020学年高中数学课时分层作业12直线间的夹角平面间的夹角直线与平面的夹角（含解析）北师大版

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1、课时分层作业(十二)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若平面α的法向量为u，直线l的方向向量为v，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是(　　)A．cosθ＝　　B．cosθ＝C．sinθ＝D．sinθ＝D　[u与v的夹角的余角才是直线l与平面α所成的角，因此选D.]2．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE夹角的余弦值为(　　)A.B.C.D.B　[建系如图，设AA1＝2AB＝2.则B(1，1，0)，C(0，1，0)D1(0，0，2)，E(1，0，1)

2、．∴＝(0，1，0)－(0，0，2)＝(0，1，－2)．＝(1，0，1)－(1，1，0)＝(0，－1，1)．cos〈，〉＝＝＝－，∴异面直线D1C与BE夹角的余弦值为.]3．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为(　　)A．75°B．60°C．45°D．30°C　[以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，从而＝(

3、0，1，－1)，＝(－1，0，0)．设平面ABC与平面PCD的法向量分别为n1，n2，取n1＝＝(0，0，1)．设n2＝(x，y，z)，由n2⊥，n2⊥，可得，可取n2＝(0，1，1)．于是cos〈n1，n2〉＝＝＝，所以平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为45°.]4．如图，在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　)A.B.C.D.B　[作AO⊥平面BCD于O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，E，∴＝

4、，＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.]5．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为(　　)A.B.C.D.D　[设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B，F，C，D.∴＝，且为平面BDF的一个法向量．由＝，＝可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.∴tan〈n，〉

5、＝.]二、填空题6．在一个锐二面角的两个面内分别有向量m＝(－1，2，0)，n＝(3，0，－2)，且m，n都与二面角的棱垂直，则该锐二面角的余弦值为________．　[由题意知，m，n所成的锐角即为二面角的平面角．∴cos〈m，n〉＝＝＝－.∴锐二面角的余弦值为.]7．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF夹角的余弦值是________．　[建立如图坐标系，设AB＝1，则D，A(0，0，0)，＝，F(1，0，0)，B(0，1，0)，＝(1，－1，0)．cosθ＝＝＝.]8．已知平面α过定

6、点A(1，2，1)，且法向量为n＝(1，－1，1)．已知平面外一点P(－1，－5，－1)，求PA与平面α夹角的正弦值________．　[＝(2，7，2)，则cos〈，n〉＝＝＝－.设PA与平面α夹角为θ，则sinθ＝

7、cos〈，n〉

8、＝.]三、解答题9．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．(1)求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．[解]　以A为原点，AB，AD，AP所在的

9、直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，2a，0)．又∵∠PDA＝30°，∴AP＝AD·tan30°＝2a·＝a，AE＝AD·sin30°＝2a·＝a.过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，∴AF＝，EF＝a.∴P，E.(1)证明：＝，＝，∴·＝0＋a2－a2＝0.∴⊥，∴BE⊥PD.(2)＝，＝(－a，a，0)．则cos〈，〉＝＝＝，即AE与CD的夹角的余弦值为.10．如图，在三棱柱ABOA1B1O1中，OA⊥OB，且OB＝3，OA＝

10、4，BB1＝4，D为A1B1的中点．P为BB1上一点，且OP⊥BD.求直线OP与底面AOB的夹角的正弦值．[解]　以O点为原点，以OB，OA，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，有O(0，0，0)，B(3