《直线间的夹角、平面间的夹角》(第一课时)(北师大版选修2-1)

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1、第二章§5第一课时把握热点考向应用创新演练考点一考点二理解教材新知第一课时　直线间的夹角、平面间的夹角山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，从A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30m和40m，CD的长为60m，AB的长为80m.问题4：若n1，n2分别为两个平面π1、π2的法向量，则π1与π2的夹角θ与〈n1，n2〉有什么关系？1．两直线的夹角当两条直线l1与l2时，把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹角．2．异面直线l1与l2的夹角(1)定义：直线l1与l2

2、是异面直线，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，则和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角．共面直线l1〈s1，s2〉π－〈s1，s2〉平面π1平面π2直线l1和l2[例1]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．(1)求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．[思路点拨]要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．1．已知直线l1的一

3、个方向向量为a＝(1，－2,1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2,0)，则两直线的夹角为________．2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC的夹角．3.如右图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC夹角的余弦值．4．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1且C1E＝3EC.(1)证明：A1C⊥平面BED；(2)求平面A1DE与平面BD

4、E夹角的余弦值．解：以D为坐标原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．可知D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．用向量法求两异面直线的夹角θ及两平面的夹角φ时，要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a，b的夹角及两平面的法向量n1，n2的夹角的关系：①当cos〈a，b〉<0时，cosθ＝－cos〈a，b〉，当cos〈a，b〉≥0时，cosθ＝cos〈a，b〉，即cosθ＝

5、cos〈a，b〉

6、.②当cos〈n1，n2〉≥0时，cosφ＝cos〈n1，n2〉，当cos〈n1，n2〉<0时，cosφ＝

7、－cos〈n1，n2〉，即cosφ＝

8、cos〈a，b〉

9、.