2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟踪训练(十一) 直线间的夹角、平面间的夹角含解析

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1、2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟踪训练课时跟踪训练(十一) 直线间的夹角、平面间的夹角1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则异面直线EF和CD的夹角是(  )A.60°        B.45°C.30°D.90°2.(陕西高考)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(  )A.B.C.D.3.如图所示,已知点P为菱形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则平面CBF与平面D

2、BF夹角的正切值为(  )A.B.C.D.4.P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在α,β平面内引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么α与β的夹角大小为(  )A.60°B.70°C.80°D.90°5.平面π1的一个法向量n1=(1,2,-1),平面π2的一个法向量n2=(2,-2,-2),则平面π1与π2夹角的正弦值为________.6.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________.7.如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE

3、,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.求平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值.52017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟踪训练8.如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.(1)求异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值.答案1.选B 以D为原点,分别以射线DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴的非负半轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1,则E,F,=,=(0,1,0).所以cos〈,〉==-,所以〈,〉=135°,所以异面直线EF和CD的

4、夹角是45°.2.选A 设CA=2,则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),B1=(0,2,1),可得向量=(-2,2,1),=(0,2,-1),由向量的夹角公式得cos〈,〉=52017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟踪训练==.3.选D 设AC∩BD=O,连接OF,以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设PA=AD=AC=1,则BD=,∴B,F,C,D.∴=,且为平面BDF的一个法向量.由=,=可得平面BCF的一个法向量n=(1,,).∴cos〈n,〉=,sin〈n,〉=.∴tan

5、〈n,〉=.4.选D 设PM=a,PN=b,作ME⊥AB,NF⊥AB,则因∠BPM=∠BPN=45°,故PE=,PF=.于是·=(-)·(-)=·-·-·+·=abcos60°-a·cos45°-·bcos45°+·=--+=0.因为EM,FN分别是α,β内的与棱AB垂直的两条直线,所以与的夹角就是α与β的夹角.5.解析:n1·n2=2-4+2=0,∴n1⊥n2,∴〈n1,n2〉=,即α与β垂直,∴sin〈n1,n2〉=1.答案:16.解析:不妨设棱长为2,则=-,=+,cos〈,〉=52017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟踪训练==0.故AB1与BM的夹角为

6、90°.答案:90°7.解:因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系,如图所示.因为BE与平面ABCD所成角为60°,即∠DBE=60°,所以=.由AD=3可知DE=3,AF=,则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0).所以=(0,-3,),=(3,0,-2).设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),则即令z=,则n=(4,2,).由题意知AC⊥平面BDE,所以为平面BDE的法向量,=(3,-3,0).所以cos〈n,〉===.故由题意知平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值为.8.解:(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空

7、间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以=(2,0,-4),=(1,-1,-4).因为cos〈,〉===,所以异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1=(x,y,z),因为=(1,1,0),=(0,2,4),所以n1·=0,n1·=0,即x+y=0且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=-2,所以n1=(2,-2,1)是平

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