2019_2020学年高中数学第2讲证明不等式的基本方法2综合法与分析法学案新人教A版

《2019_2020学年高中数学第2讲证明不等式的基本方法2综合法与分析法学案新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二　综合法与分析法学习目标：1.了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．(重点)2.会用综合法、分析法证明简单的不等式．(难点)教材整理1　综合法阅读教材P23～P23“例2”，完成下列问题．一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法．设a，b∈R＋，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)A．A≥B　　　　　　　B．A≤BC．A＞BD．A＜BC　[A2＝(＋)2＝a＋2＋b，B2＝a＋b，所以A2＞B2.又A＞0，B＞0，所以A＞B.]教材整理2　分析法阅读教材P24～P

2、25“习题”以上部分，完成下列问题．证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．设a＝，b＝－，c＝－，那么a，b，c的大小关系是(　　)A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞aB　[由已知，可得出a＝，b＝，c＝，∵＋＞＋＞2，∴b＜c＜a.]用综合法证明不等式【例1】　已知a，b，c是正数，求证：≥abc.[精彩点拨]　由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2＋c2a

3、2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，利用x2＋y2≥2xy可证．或将原不等式变形为＋＋≥a＋b＋c后，再进行证明．[自主解答]　法一　∵a，b，c是正数，∴b2c2＋c2a2≥2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc，∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)，即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．又a＋b＋c＞0，∴≥abc.法二　∵a，b，c是正数，∴＋≥2＝2c.同理＋≥2a，＋≥2b，∴2≥2(a＋b＋c)．又a＞0,b＞0，c＞0，∴b2c2＋a2c2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．故≥

4、abc.1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键．2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术几何平均不等式等．1．已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝2.求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8.[证明]　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴1＋a≥2，当且仅当a＝1时，取等号，1＋b≥2，当且仅当b＝1时，取等号，1＋c≥2，当且仅当c＝1时，取等号．∵abc＝2，∴a，b，c不能同时取1

5、，∴“＝”不同时成立．∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8＝8.即(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8.综合法与分析法的综合应用【例2】　设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：loga(ax＋by)＜＋loga2.[精彩点拨]　要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明．[自主解答]　由于0＜a＜1，则t＝logax(x＞0)为减函数．欲证loga(ax＋ay)＜＋loga2，只需证ax＋ay＞2a.∵y＋x2＝0,0＜a＜1，∴x＋y＝x－x2＝－＋≤.当且仅当x＝时，(x＋y)max＝，∴ax＋y≥a

6、，≥a.①又ax＋ay≥2(当且仅当x＝y取等号),②∴ax＋ay≥2a.③由于①，②等号不能同时成立，∴③式等号不成立，即ax＋ay＞2a成立．故原不等式loga(ax＋ay)＜＋loga2成立．1．通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．体现了分析法与综合法之间互为前提、互相渗透、相互转化的辩证关系．2．函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用．2．已知a，b，c都是正数，求证：2≤3－.[证明]　法一　要证2≤3－，只需证a＋b－2≤a＋b＋c－3，即－2≤c－3，移项，得c＋2≥3.由a，b，c都为正数，得c＋2＝

7、c＋＋≥3，∴原不等式成立．法二　∵a，b，c都是正数，∴c＋＋≥3＝3，即c＋2≥3，故－2≤c－3，∴a＋b－2≤a＋b＋c－3，∴2≤3.分析法证明不等式[探究问题]1．如何理解分析法寻找的是充分条件？[提示]　用分析法证明，其叙述格式是：要证明A，只需证明B.即说明只要有B成立，就一定有A成立．因此分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件．分析法体现了数学中“正难则反”的原则，也是思维中的逆向思维，逆求(不是逆推)结论成立的充分条件．2．综合法与分析法有何异同点？[提示]