2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案新人教A版

《2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.2.1　综合法和分析法学习目标核心素养1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过综合法、分析法的学习和应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.1．综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法→→→…→(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)顺推证法或由因导果法2.分析法定义框图表示特点一般地，从要证明的结

2、论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示]　综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．思考2:综合法与分析法有什么区别？[提示]　综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步

3、寻找的是充分条件，即执果索因．1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C

4、导得出结论，符合综合法的证明思路．]3．要证明A＞B，若用作差比较法，只要证明________．A－B＞0　[要证A＞B，只要证A－B＞0.]4．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证______，由于______显然成立，因此原不等式成立．a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0　[用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b

5、)2≥0显然成立，所以原不等式成立．]综合法的应用【例1】　(1)已知a，b是正数，且a＋b＝1，证明：＋≥4.(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.①求证：A的大小为；②若sinB＋sinC＝，证明△ABC为等边三角形．[证明]　(1)法一：∵a，b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，＋≥2>0，∴(a＋b)≥4.又a＋b＝1，∴＋≥4.法三：＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋

6、2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．(2)①由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，所以cosA＝＝，所以A＝.②因为A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝180°－60°＝120°，由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin(120°－B)＝，sinB＋(sin120°cosB－cos120°sinB)＝，sinB＋cosB＝，即sin(B＋30°)＝1.因为0°＜B＜120°，所以30°＜B＋30°＜150°，所以B

7、＋30°＝90°，B＝60°，所以A＝B＝C＝60°，即△ABC为等边三角形．综合法的解题步骤1.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.[证明]　(1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC

8、＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD.又AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.分析法的应用【例2】　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．[证明]　当a＋b≤0时，∵≥0，∴≥(a＋b)成立．当a＋b＞0时，用分析法证明如下：要证≥(a＋b)，只需