高中数学第2讲证明不等式的基本方法2综合法与分析法学案新人教a版选修4

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1、二　综合法与分析法1．了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．(重点)2．会用综合法、分析法证明简单的不等式．(难点)[基础·初探]教材整理1　综合法阅读教材P23～P23“例2”，完成下列问题．一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法．设a，b∈R＋，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)A．A≥BB．A≤BC．A＞BD.A＜B【解析】　A2＝(＋)2＝a＋2＋b，B2＝a＋b，所以A2＞B2.又A＞0，B＞0，所以A＞B.【答案】　C教材整理2　分析法阅读教材P

2、24～P25“习题”以上部分，完成下列问题．证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．设a＝，b＝－，c＝－，那么a，b，c的大小关系是(　　)【导学号：32750033】A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD.b＞c＞a【解析】　由已知，可得出a＝，b＝，c＝，∵＋＞＋＞2，∴b＜c＜a.【答案】　B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解

3、惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]用综合法证明不等式　已知a，b，c是正数，求证：≥abc.【精彩点拨】　由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，利用x2＋y2≥2xy可证．或将原不等式变形为＋＋≥a＋b＋c后，再进行证明．【自主解答】　法一　∵a，b，c是正数，∴b2c2＋c2a2≥2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc，∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)，即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．又a＋b＋c＞0

4、，∴≥abc.法二　∵a，b，c是正数，∴＋≥2＝2c.同理＋≥2a，＋≥2b，∴2≥2(a＋b＋c)．又a＞0,b＞0，c＞0，∴b2c2＋a2c2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．故≥abc.1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键．2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术几何平均不等式等．[再练一题]1．已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝2.求证：(1＋a)(1＋b)(

5、1＋c)＞8.【证明】　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴1＋a≥2，当且仅当a＝1时，取等号，1＋b≥2，当且仅当b＝1时，取等号，1＋c≥2，当且仅当c＝1时，取等号．∵abc＝2，∴a，b，c不能同时取1，∴“＝”不同时成立．∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8＝8.即(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8.综合法与分析法的综合应用　设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：loga(ax＋by)＜＋loga2.【精彩点拨】　要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明．【自主解答】　由于0＜a＜1，则t＝l

6、ogax(x＞0)为减函数．欲证loga(ax＋ay)＜＋loga2，只需证ax＋ay＞2a.∵y＋x2＝0,0＜a＜1，∴x＋y＝x－x2＝－＋≤.当且仅当x＝时，(x＋y)max＝，∴ax＋y≥a，≥a.①又ax＋ay≥2(当且仅当x＝y取等号),②∴ax＋ay≥2a.③由于①，②等号不能同时成立，∴③式等号不成立，即ax＋ay＞2a成立．故原不等式loga(ax＋ay)＜＋loga2成立．1．通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．体现了分析法与综合法之间互为前提、互相渗透、相互转化的辩证关系．2．函数与不等式综合交汇，应

7、注意函数性质在解题中的运用．[再练一题]2．已知a，b，c都是正数，求证：2≤3－.【导学号：32750034】【证明】　法一　要证2≤3－，只需证a＋b－2≤a＋b＋c－3，即－2≤c－3，移项，得c＋2≥3.由a，b，c都为正数，得c＋2＝c＋＋≥3，∴原不等式成立．法二　∵a，b，c都是正数，∴c＋＋≥3＝3，即c＋2≥3，故－2≤c－3，∴a＋b－2≤a＋b＋c－3，∴2≤3.[探究共研型]分析法证明不等式探究1　如何理解分析法寻找的是充分条件？【提示】　用分析法证明，其叙述格式是：要证明A，只需证明B.即