2019_2020学年高中数学第2章等式与不等式2.2.4均值不等式及其应用（第1课时）均值不等式学案新人教B版

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1、第1课时　均值不等式学习目标核心素养1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养．2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养.1．算术平均值与几何平均值对于正数a，b，常把叫做a，b的算术平均值，把叫做a，b的几何平均值．2．均值不等式(1)当a＞0，b＞0时，有≥，当且仅当a＝b时，等号成立；(2)均值不等式的常见变形①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2；②若a＞0，b＞0，则ab≤2.1．不等式a2＋1≥2

2、a中等号成立的条件是(　　)A．a＝±1　　　　B．a＝1C．a＝－1D．a＝0B　[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时“＝”成立．]2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是(　　)A．a2＋b2　　　B．2　　　C．2ab　　　D．a＋bD　[∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(a≠b)，∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.又∵a＋b＞2(a≠b)，∴a＋b最大．]3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(　　)A．1B．2C．4D．8B　[∵a>

3、0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.③　[根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对均值不等式的理解【例1】　给出下面三个推导过程：①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－－＋－≤－2＝－2.其中正确的推导为(　　)A．①②　　　　　　　　B．①③C．②③D．①②③B　[①∵a，b为正实数，∴

4、，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]1．均值不等式≤(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.1．下列不等式的推导过程正确的是________．①若

5、x＞1，则x＋≥2＝2；②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4；③若a，b∈R，则＋≥2＝2.②　[①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝时，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用均值不等式比较大小【例2】　(1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是(　　)A．a＋b≥2B.＋≥2C.≥2D.≥(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D　(2)a2＋b2＋c2＞ab＋b

6、c＋ac　[(1)由≥得a＋b＝2，∴A成立；∵＋≥2＝2，∴B成立；∵≥＝2，∴C成立；∵≤＝，∴D不一定成立．(2)∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.2．如果0

7、＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)A．P＞Q＞MB．M＞P＞QC．Q＞M＞PD．M＞Q＞PB　[显然＞，又因为＜，所以＞＞.故M＞P＞Q.]利用均值不等式证明不等式【例3】　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.[思路点拨]　看到＋＋>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．[证明]　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时取等号，∴＋＋>9.本

8、例条件不变，求证：>8.[证明]　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，∴＝··≥＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴＞8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条