2019_2020学年高中数学第2章变化率与导数22.1导数的概念2.2导数的几何意义学案北师大版

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1、2.1　导数的概念2.2　导数的几何意义学习目标核心素养1．理解导数的概念及导数的几何意义．(重、难点)2．会求导数及理解导数的实际意义．(重点)3.掌握利用导数求切线方程的方法．(难点)1．通过导数几何意义的学习，培养了学生直观想象的核心素养.2．通过求函数的导数的学习，提升了学生数学运算的核心素养.3.通过导数实际意义的学习，培养了学生数学抽象的核心素养.1．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝＝.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导

2、数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义．1．设函数y＝f(x)可导，则等于(　　)A．f′(1)B．3f′(1)C．f′(1)D．以上都不对A　[由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.]2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　)A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在A　[由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．]3．抛物线y＝x2＋4在点(－2,8

3、)处的切线方程为__________．4x＋y＝0　[因为y′＝＝(2x＋Δx)＝2x，所以k＝－4，故所求切线方程为4x＋y＝0.]求函数在某点处的导数【例1】　(1)若＝k，则等于(　　)A．2kB．kC．kD．以上都不是(2)函数y＝在x＝1处的导数是________．(3)求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．思路探究：根据导数的概念求解．(1)A　(2)　[(1)＝2＝2＝2k.(2)∵Δy＝－1，∴＝＝，当Δx趋于0时，＝趋于，∴函数y＝在x＝1处的导数为.](3)[解]　∵f(x)＝2x2＋4x，∴Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3

4、＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx.∴＝＝2Δx＋16.当Δx趋于0时，＝16，∴f′(3)＝16.1．本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出．切忌算到时，就下结论：当Δx趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定．2．计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤(1)计算Δy；(2)计算；(3)计算.1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(　　)A．1B．－1C．±1　　　D．3C　[∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δ

5、x)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，由f′(x0)＝3，得3x＝3，∴x0＝±1．]求曲线在某点处切线的方程【例2】　已知曲线C：f(x)＝x3＋.(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？思路探究：(1)先求切点坐标，再求f′(2)，最后利用导数的几何意义写出切线方程．(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．[解]　(1)将x＝2代入曲线C的方程得f(2)＝4，∴切点P(2,4)．f′(2)＝＝

6、＝[4＋2Δx＋(Δx)2]＝4.∴k＝f′(2)＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)由可得(x－2)(x2＋2x－8)＝0，解得x1＝2，x2＝－4.从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20)．1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切

7、线方程为x＝x0.2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．2．求曲线f(x)＝x2＋1在点A(1,2)处的切线方程．[解]　在曲线f(x)＝x2＋1上的点A(1,2)的附近取一点B，设B点的横坐标为1＋Δx，则点B的纵坐标为(1＋Δx)2＋1，所以函数的增量Δy＝(1＋Δx)2＋1－2＝(Δx)2＋2Δx，所以切线AB的斜率kAB＝＝Δx＋2，∴＝(Δx＋2)＝2，这表明曲线f(x)＝x2＋1在点A(1,2)处的切线斜率k＝2．∴所求切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.求曲线过某点的切线方程[探究问题]1．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联

8、系？[提示]　区别：函数在某点处的导数是一个定值，导