变化率与导数1.1.3导数的几何意义

《变化率与导数1.1.3导数的几何意义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、1．1.3　导数的几何意义教材分析　　　　　本节课是在学习了变化率、导数概念等知识的基础上，结合函数图象来研究导数的几何意义，是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容．探究和理解导数的几何意义，就是从几何的角度分析问题，利用割线和切线的辩证关系，通过逐步逼近的方法和“以直代曲”思想的运用，在给切线以新的定义的同时，产生了导数的几何意义．本节的学习为研究变量和函数提供了重要的方法，为今后学习函数单调性创造了条件．课时分配　　　　　1课时．教学目标　　　　　1．知识与技能目标通过实验探究，理解导数的几何意义，体会导数在刻画函数性质

2、中的作用．2．过程与方法目标培养学生分析、抽象、概括等思维能力；通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，培养学生科学的思维习惯．3．情感、态度与价值观渗透逼近和“以直代曲”思想，能激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力．重点难点　　　　　重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法．难点：发现、理解及应用导数的几何意义．提出问题：平面几何中，我们怎样判断一条直线是否是圆的切线？学情预测：学生一定回答：与圆只

3、有一个公共点的直线就叫做圆的切线．提出问题：能否将它推广为一般曲线的切线定义？直线与曲线只有一个公共点就是相切吗？学情预测：学生可能无从入手，教师可通过帮助学生回忆以前学过的曲线与切线来引导．活动设计：教师引导学生，举例如下：北京天梯志鸿教育科技有限责任公司活动成果：师生共同得出如下结论：有些曲线虽然和直线只有一个交点，但不是相切而是相交，有些曲线在某点处和直线相切，但整体上却和直线有多个交点．所以，对于一般曲线，我们必须重新寻求曲线切线的定义．提出问题：曲线在一点处的切线应该怎样定义呢？活动设计：教师演示多媒体结论：当点B

4、沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．设计意图初中平面几何中有圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时，直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．但是，圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线，如上面的例子．这样，学生对于切线的认识产生了疑问，也就激发了学生的探索欲望．提出问题：导数的概念及其本质是什么？写出它的表达式．活动设计：一位学生板书，其他学生在练习本上写出，教师订正如下：导数f′(x0)的本质是函数f(x)在x＝x0处的

5、瞬时变化率，即f′(x0)＝.教师：导数的本质是从代数(数)的角度来诠释，若从图形(形)的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？试回忆求导数f′(x0)的基本步骤．学生：求导数f′(x0)的基本步骤分三步：第一步：求Δy；第二步：求平均变化率；第三步：当Δx趋近于0时，平均变化率无限趋近于的常数就是f′(x0)．教师：若从“形”的角度探索导数的几何意义，是否也可以分下面三个步骤？第一步：Δy的几何意义是当x0＋Δx与x0所对应的函数值的差量，即纵坐标之差；第二步：平均变化率的几何意义是割线AB的斜率．其中A(x0，f(x

6、0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))；北京天梯志鸿教育科技有限责任公司第三步：Δx→0时，割线AB有什么变化？Δx→0，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))→A(x0，f(x0))，当Δx→0时，A，B之间的差距越来越小．教师：结合前面的多媒体演示，你有什么发现？学生：既然平均变化率的几何意义是割线AB的斜率，那么当Δx→0时，割线AB的斜率逐渐变为曲线f(x)上过A点的切线的斜率．教师：当Δx→0时，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在x＝x0处的切线．活动成果：师生共同得出如下结论：当Δx

7、→0时，割线AB→切线AD，则割线AB的斜率→切线AD的斜率．即f′(x0)＝＝切线AD的斜率，所以，函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是函数f(x)的图象在x＝x0处的切线AD的斜率．设计意图通过复习回顾、分析讨论、动手实践，使学生经历探究“导数的几何意义”的建构过程，从而准确理解“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法．提出问题：已知f(x)＝x2，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线的斜率．活动设计：学生先独立思考，再自由发言，老师点评，然后要求学生在练习本上写出过程．活动成果：思

8、路分析：为求得过点(2,4)的切线的斜率，可从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手．解：设P(2,4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)，则割线PQ的斜率kPQ＝＝4＋Δx.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，即f′(2)＝(4＋Δx)＝4.从而曲线y＝f(x)在点P(2,4