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《2018年秋高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案新人教A版必修4201809132142》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标：1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义、(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律,会进行向量的数乘运算、(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题、(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别、(易混点)[自主预习·探新知]1、向量的数乘运算定义实数λ与向量a的乘积是一个向量记法λa长度
2、λa
3、＝
4、λ
5、
6、a
7、方向λ＞0方向与a的方向相同λ＜0方向与a的方向相反思考：(1)何时有λa＝0?(2)从几何角度考虑,向量2a和－a与向量a分别有什么关系？
8、[提示] (1)若λ＝0或a＝0则λa＝0.(2)2a与a方向相同,2a的长度是a的长度的2倍,－a与a方向相反,－a的长度是a的长度的.2、向量的数乘运算的运算律设λ,μ为任意实数①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.3、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b＝λa.4、向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算、对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[基础自测]1、思考辨析(1)对于任意的向量a
9、,总有0·a＝0.( )(2)当λ＞0时,
10、λa
11、＝λa.( )(3)若a≠0,λ≠0,则a与－λa的方向相反、( )[解析] (1)错误.0·a＝0；(2)错误、
12、λa
13、＝λ
14、a
15、(λ＞0)、(3)错误、当λ＜0时,－λ＞0,a与－λa的方向相同、[答案] (1)× (2)× (3)×2、点C是线段AB靠近点B的三等分点,下列正确的是( )A.＝3 B.＝2C.＝D.＝2D [由题意可知：＝－3；＝－2＝2.故只有D正确、]3、如图2227,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,＋＝λ,则λ＝________.
16、图22272 [由向量加法的平行四边形法则知＋＝.又∵O是AC的中点,∴AC＝2AO,∴＝2,∴＋＝2,∴λ＝2.][合作探究·攻重难]向量的线性运算 (1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0,则x＝________.(2)化简下列各式：①3(6a＋b)－9；②－2；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.(1)4b－3a [(1)由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0,所以x＋3a－4b＝0,所以x＝4b－3a.(2)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.③原
17、式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.][规律方法] 向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.[跟踪训练]1、(1)化简；(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x－2y＝a,－4x＋3y＝b
18、,求向量x,y.[解] (1)原式＝＝＝＝a－b.(2)由①×3＋②×2得,x＝3a＋2b,代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a,所以x＝3a＋2b,y＝4a＋3b.用已知向量表示未知向量 (1)如图2228,▱ABCD中,E是BC的中点,若＝a,＝b,则＝( )图2228A、a－b B、a＋bC、a＋bD、a－b(2)如图2229所示,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,M,N分别是DE,BC的中点,已知＝a,＝b,试用a,b分别表示,,.图2229[思路探究] 先用向量加减法的几何意义设计好总体思路,然后利用平面图形的特征
19、和数乘向量的几何意义表示、(1)D [(1)＝＋＝＋＝－＝a－b.](2)由三角形中位线定理,知DE綊BC,故＝,即＝a.＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b.母题探究：1.本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,试用a,b表示.[解] 因为DG∥AB,所以△DFG∽△BFA,又因为DF＝＝×BD＝BD,所以＝＝,所以＝＋＝＋＝a＋b.2、本例(1)中,若点F为边AB的中点,设a＝,b＝,用a,b表示.[解] 由题意解得所以＝－＝a＋b.[规律方法] 用已知向量表示其他
20、向量的两种方法(1)直接法、(2)方程法、当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程
