高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案新人教A版.doc

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1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义A级　基础巩固一、选择题1．下列各式计算正确的个数是(　　)①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0　　　　　　B．1C．2D．3解析：根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．答案：C2．如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，则向量＝(　　)A.＋B.－C．－－D．－＋解析：因为D是AB的中点，所以＝，所以＝－＝－.答案：D3．已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)A．A，

2、B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析：因为＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，所以＝＋＝－4a＋8b，＋＝2a＋4b＝＝2，所以A，B，D三点共线．答案：A54．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)A.＋＝0B.＋＝0C.＋＝0D.＋＋＝0解析：如图，因为＋＝2，所以P是线段AC的中点，所以＝－，即＋＝0.答案：B5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)A.a＋bB.a＋bC．a＋bD．a＋b解析：由已知条件可知BE＝3DE，所以DF＝AB，所以＝＋＝＋＝

3、a＋b.答案：A二、填空题6．若

4、a

5、＝5，b与a的方向相反，且

6、b

7、＝7，则a＝______b.解析：因为

8、a

9、＝5，

10、b

11、＝7，所以＝，又方向相反，所以a＝－b.答案：－7．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．5解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以解得答案：8．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为________．解析：因为＋＋＝0，所以点M是△ABC的重心，所以＋＝3，所以m＝3.答案：3三、解答题9．已知A，

12、B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．解：设＝，则＝＋，则＝＋＝＋＋＝＋－＋a(－)＝(1＋a)－a所以x＋y＝1＋a－a＝1.10．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.(1)将用e，f表示；(2)求证：四边形ABCD为梯形．(1)解：根据向量的线性运算法则，有＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与同向，且的长度为长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD

13、≠BC，所以四边形ABCD是梯形．B级　能力提升51．如图，△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是(　　)A.＝B.＝2C.＝D.＋＝解析：因为G是△ABC的重心，所以BG＝BE，CG＝2GF，DG＝AG，所以＝，＝2，＝－，所以＋＝＋＝＝.所以C不正确．答案：C2．若＝t(t∈R)，O为平面上任意一点，则＝________(用，表示)．解析：＝t，－＝t(－)，＝＋t－t＝(1－t)＋t.答案：(1－t)＋t3．设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线

14、；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；(3)若＝ma，＝nb，＝αa＋βb，其中m，n，α，β均为实数，m≠0，n≠0，若M，P，N三点共线，求证：＋＝1.(1)证明：因为＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，所以与共线，且有公共点B，所以A，B，C三点共线．(2)解：因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，5即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因为a与b不共线，所以解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.(3)证明：因为M，P，N三点共线，O为直线外一点

15、，所以存在实数x，y，使得＝x＋y，且x＋y＝1.又因为＝αa＋βb，且a，b不共线，所以＝xma＋ynb＝αa＋βb，所以xm＝α，yn＝β，所以＋＝x＋y＝1.5