高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案新人教a版必修4

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1、2.2.3　向量数乘运算及其几何意义1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义，会作向量ma＋nb.2．熟练掌握和运用向量数乘的运算律，会化简向量关系式，并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线．1．向量的数乘定义一般地，实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的数乘，记作λa长度

2、λa

3、＝

4、λ

5、

6、a

7、方向λ＞0λa的方向与a的方向______λ＝0λa＝____λ＜0λa的方向与a的方向____①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个向量，不是实数；但实数与向量不能进行

8、加减运算，如λ＋a，λ－a是错误的．②对任意非零向量a，则向量是与向量a同向的单位向量．③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小

9、λ

10、倍．【做一做1】已知非零向量a，b满足a＝4b，则(　　)A．

11、a

12、＝

13、b

14、B．4

15、a

16、＝

17、b

18、C．a与b的方向相同D．a与b的方向相反2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝________；(2)(λ＋μ)a＝________；(3)λ(a＋b)＝________(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝______＝_

19、_____，λ(a－b)＝______.在△ABC中，D是BC的中点，则有＝(＋)．【做一做2】3(2a－4b)等于(　　)A．5a＋7bB．5a－7bC．6a＋12bD．6a－12b3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______．(1)向量共线的条件：当向量a＝0时，a与任一向量b共线；当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线．反之，已知向量b与a(a≠0)共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍，即

20、b

21、＝λ

22、a

23、，那么当b

24、与a同方向时b＝λa，当b与a反方向时b＝－λa.(2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0.已知三点A，B，C共线，O是平面内任意一点，则有＝λ＋m，其中λ＋m＝1.【做一做3】已知P是线段MN的中点，则有(　　)A.＝2B.＝C.＝D.＝4．向量的线性运算向量的____、____、______运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝________.向量λ(μ1a＋μ2b)可以用平行四边形法则作出，如图所示，＝λ(μ1a＋μ2b)．【做一做

25、4】在ABCD中，＝2a，＝3b，则等于(　　)A．a＋bB．a－bC．2a＋3bD．2a－3b答案：1．向量　相同　0　相反【做一做1】C　∵a＝4b,4＞0，∴

26、a

27、＝4

28、b

29、.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．2．(1)(λμ)a　(2)λa＋μa　(3)λa＋λb　－(λa)　λ(－a)　λa－λb【做一做2】D　原式＝3×2a－3×4b＝6a－12b.3．b＝λa【做一做3】B　如图所示，＝－2，＝，＝，则选项A，C，D不正确，很明显＝，则选项B正确．4．加　减　数乘　λμ1a±λμ2b【做一做4

30、】C　＝＋＝2a＋3b.共线向量定理的应用剖析：共线向量定理可以分为两个定理：判定定理：如果存在一个实数λ满足b＝λa(λ∈R)，那么a∥b.性质定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(1)判定定理的结论是a∥b，那么用共线向量定理可以证明两向量共线．即证明向量a∥b，只需找到满足a＝λb或b＝λa的实数λ的值即可．(2)判定定理的结论是a∥b，则有当＝a，＝b时，有O，A，B三点共线，即用共线向量定理可以证明三点共线．即三点共线问题通常转化为向量共线问题．(3)判定定理的结论是a∥b，当

31、a和b所在的直线分别是直线m和n时，则有直线m，n平行或重合．即用共线向量定理可以证明两直线平行．例如：如图，已知△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，并且AD=xAB，AE=xAC，0＜x＜1.求证：DE∥BC，且DE=xBC.证明：∵AD=xAB，AE=xAC，∴=x，=x.∴=－=x(－)=x.∴DE∥BC且DE=xBC.(4)性质定理的结论是b=λa，则有

32、b

33、=

34、λ

35、·

36、a

37、，当=a，=b时，

38、

39、=

40、λ

41、·

42、

43、，从而OB=

44、λ

45、OA.即用共线向量定理可以证明两平行线段间的长度关系．例如：平行四边形O

46、ACB中，BD=BC，OD与BA相交于E.求证：BE=BA.证明：如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′=BA.设=a，=b，则=a，=b+a.∵=－b，=a－,3=，∴3(－b)=a－.∴=(a+3b)=(b+a)，∴=.∴O，E′，D三点共线，即E，E′重合．∴BE=BA.由此可见，证明两平行线段的长度关系可转化为证明这两条线段构成的向量共线．题型一化