高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义知识巧解学案新人教a版必修4

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1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义疱工巧解牛知识•巧学一、向量的数乘1.向量的数乘一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.它的长度与方向规定如下：(1)

2、λa

3、=

4、λ

5、

6、a

7、；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广，λa是一个向量，其长度

8、λa

9、=

10、λ

11、

12、a

13、，其方向与λ的符号有关，应注意0a=0而不是实数0.2.向量的数乘的几何意义由实数与向量积的定义可以看出，

14、它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当

15、λ

16、＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长了

17、λ

18、倍；当

19、λ

20、＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短了

21、λ

22、倍.图2-2-343.向量数乘的运算律设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)=(λμ)a；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.学法一得实数与向量的积的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律很相似.证明这些运算律成立的关键是证明等式两边的向量的模相等，且方向相同.证明：(1

23、)如果λ=0，μ=0，a=0中至少有一个成立，则(1)式显然成立.如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，有

24、λ(μa)

25、=

26、λ

27、

28、μa

29、=

30、λ

31、

32、μ

33、

34、a

35、，

36、(λμ)a

37、=

38、λμ

39、

40、a

41、=

42、λ

43、

44、μ

45、

46、a

47、.∴

48、λ(μa)

49、=

50、(λμ)a

51、.(2)如果λ=0，μ=0，a=0中至少有一个成立，则(2)式显然成立.如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以

52、(λ+μ)a

53、=

54、λ+μ

55、

56、a

57、=(

58、λ

59、+

60、μ

61、)

62、a

63、，

64、λa+μa

65、=

66、λa

67、+

68、μa

69、=

70、λ

71、

72、a

73、+

74、μ

75、

76、a

77、=(

78、λ

79、

80、+

81、μ

82、)

83、a

84、，即有

85、(λ+μ)a

86、=

87、λa+μa

88、.(3)当a=0，b=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1时，(3)式显然成立.当a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1时，分如下两种情况：当λ＞0且λ≠1时，在平面内任取一点O，作=a，=b，=λa，=λb，如图2-2-35所示，则=a+b，=λa+λb.图2-2-35由作法知∥，有∠OAB=∠OA1B1，

89、

90、=λ

91、

92、，∴=λ.∴△OAB∽△OA1B1.∴=λ，∠AOB=∠A1OB1.因此，O、B、B1在同一条直线上，

93、

94、=

95、λ

96、，与λ的方向也相同.∴λ(a+b)=λa+

97、λb.当λ＜0时，由图2-2-36可类似证明λ(a+b)=λa+λb.图2-2-36∴(3)式成立.误区警示分类讨论的思想在数学中既是一个重要的策略思想，也是一个重要的思想方法.很多数学问题不仅在涉及的知识范围上带有综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上着手解决，这时，就从“分割”入手，把“整体”划分为若干个“局部”，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决.这是具有哲学意义的思想方法.分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过各个击破，再求整体解决(即先化整为零，再聚零

98、为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键.二、两向量共线如果向量b与非零向量a共线，那么有且只有一个实数λ，使得b=λa.(1)向量的平行(共线)与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况.(2)定理的实质是向量相等，即存在唯一实数λ使b=λa(a≠0)，应从向量的大小和方向两个方面理解，借助于数量λ沟通了两个向量b与a的联系.学法一得定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量

99、相等.把向量平行的问题转化为寻求实数λ使向量相等的问题.典题•热题知识点一向量的加法、减法及数乘例1设a、b为向量，计算下列各式.(1)-×3a；(2)2(a-b)-(a+b)；(3)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m、n为实数).思路分析：利用向量的加法、向量的减法及数乘向量运算的法则及运算律计算.解：(1)原式=(-×3)a=-a；(2)原式=2a-2b-a-b=(2a-a)-(2b+b)=a-b.(3)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b)=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb=m

100、a-nb.知识点二用向量共线判断三点共线例2求实数λ，使得λa+b与2a+λb共线.思路分析：求未知数的值，可考虑通过挖掘题目的条件，布列含有未知数的方程求解.解：∵λa+b与2a+λb共线，∴存在一个实数，不妨设为m，使得(λa+b)=m(2a+λb),即(λ-2m)a+(1-mλ)b=0.∴解得λ=±.例3如图2-2-37所示