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《2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学案新人教A版选修1_1201809122115》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.3.1 函数的单调性与导数学习目标:1.理解函数的单调性与导数的关系、(重点)2.能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间、(重点)3.能根据函数的单调性求参数、(难点)[自主预习·探新知]1、函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a,b)内的函数y=f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减思考:若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f′(x)>0这个说法正确吗?[提示] 不正确,应该是f′(x)≥0.2、函数图象的变
2、化趋势与导数值大小的关系一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)[基础自测]1、思考辨析(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则函数f(x)在定义域上单调递增、( )(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”、( )(3)函数值在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大、( )(4)在区间(a,b)内,f′(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件、( )[答案] (
3、1)× (2)× (3)√ (4)×2、函数y=x3+x的单调递增区间为( )A、(0,+∞) B、(-∞,1)C、(1,+∞)D、(-∞,+∞)D [y′=3x2+1>0,故选D.]3、若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )【导学号:97792146】A、f(x)>0B、f(x)<0C、f(x)=0D、不能确定A [由f′(x)>0知函数f(x)在区间(a,b)内是增函数,且f(a)≥0,故f(x)>0.][合作探究·攻重难]函数的单调性与单调区间 (1)函数f(x)
4、=3x2-2lnx的单调递减区间为__________、(2)设函数f(x)=x--alnx(a∈R),讨论f(x)的单调性、[思路探究] (1)求f′(x)⇒解不等式f′(x)<0(2)求f′(x)⇒根据a的取值判断f′(x)的正负号、[解析] (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)、f′(x)=6x-=令f′(x)<0,即<0,解得-0,故05、别式Δ=a2-4.①当
6、a
7、≤2时,Δ≤0,f′(x)≥0.故f(x)在(0,+∞)上单调递增、②当a<-2时,Δ>0,g(x)=0的两根都小于0.在(0,+∞)上,f′(x)>0.故f(x)在(0,+∞)上单调递增、③当a>2时,Δ>0,g(x)=0的两根为x1=,x2=.当00;当x1x2时,f′(x)>0.故f(x)分别在,上单调递增,在上单调递减、[规律方法] 求函数y=f(x)的单调区间的步骤:(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数y′=
8、f′(x);(3)解不等式f′(x)>0,函数在定义域内的解集上为增函数;(4)解不等式f′(x)<0,函数在定义域内的解集上为减函数、[跟踪训练]1、(1)函数y=x3-x2-x的单调递增区间为( )A.和(1,+∞)B.C.∪(1,+∞)D.A [y′=3x2-2x-1,令y′>0,得x<-或x>1,所以函数的单调递增区间为和(1,+∞),故选A.](2)讨论函数f(x)=x2+alnx(a∈R,a≠0)的单调性、[解] 函数定义域为(0,+∞),f′(x)=x+.①当a>0时,f′(x)=x+>0恒成立,这时函
9、数只有单调递增区间为(0,+∞);②当a<0时,由f′(x)=x+>0,得x>;由f′(x)=x+<0,得0<x<,所以当a<0时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是(0,)、综上,当a>0时,单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a<0时,单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,)、导数与函数图象的关系 (1)f′(x)是函数y=f(x)的导函数,若y=f′(x)的图象如图331所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )图331(2)已知函数y=f(x)的图象如图332所示,则函数y=f′(x)的图
10、象可能是图中的( )【导学号:97792147】图332[解析] (1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势、由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负,f(x)的增减变化情况如下表所示:x(-∞,0)(0,2)(2,+∞)f′(x)+-+f(x)↗↘↗由表可知f(x)在(-