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《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.1-3.2.2 Word版含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学新学案同步精致讲义选修§3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．
2、②对于直线l上的任一点P,在直线上取＝a,则存在实数t,使得＝t.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P,a,b是平面α内两个不共线向量,则存在有序实数对(x,y),使得＝xa＋yb.②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示．梳理 (1)用向量表示直线的位置：条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量)形式在直线l上取＝a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在实数t,使得＝t作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点苏教版数学新学案同步精致讲义选修(2)用向量表示平面的位置：①通过平
3、面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：条件平面α内两条相交直线的方向向量a,b和交点O形式对于平面α上任意一点P,存在有序实数对(x,y)使得＝xa＋yb②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l⊥α,直线l的方向向量叫做平面α的法向量确定平面位置过点A,以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量：直线的方向向量能平移到直线上的非零向量a,叫做直线l的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α,取直线l的方向向量n,n叫做平面α的法向量知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1)设v1＝(a1,b1,c1),v2＝(a2,b2,c2)分别是直线l1,
4、l2的方向向量．若直线l1∥l2,则向量v1,v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2,则直线l1,l2的方向向量共线,即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,进而确定线面是否平行．(3)关键是找到两个平面的法向量,利用法向量平行来说明两平面平行．梳理 (1)空间中平行关系的向量表示：设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为μ,v,则线线平行l
5、∥m⇔a∥b⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0苏教版数学新学案同步精致讲义选修面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv(k∈R)(2)利用空间向量解决平行问题时,第一,建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；第二,通过向量的运算,研究平行问题；第三,把向量问题再转化成相应的立体几何问题,从而得出结论．1．若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反．(√)2．平面α的法向量是唯一的,即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)3．两直线的方向向量平行,则两直线平行．(×)4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相
6、反时,直线与平面垂直．(√)类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点．AB＝AP＝1,AD＝,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量．解 因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直．如图,以A为坐标原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系A－xyz,则D(0,,0),E,B(1,0,0),C(1,,0),于是＝,＝(1,,0)．设n＝(x,y,z)为平面ACE的法向量,苏教版数学新学案同步精致讲义选修则即所以令y＝－1,则x＝z＝.所以平面A
7、CE的一个法向量为n＝(,－1,)．引申探究若本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．解 由例1解析图可知,P(0,0,1),C(1,,0),所以＝(1,,－1),即为直线PC的一个方向向量．设平面PCD的法向量为n＝(x,y,z)．因为D(0,,0),所以＝(0,,－1)．由即所以令y＝1,则z＝.所以平面PCD的一个法向量为n＝(0,1,)．反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量
