河北省定州中学2018学年高中毕业班下学期开学考试数学试题（附答案）

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1、河北定州中学2017-2018学年第二学期高四数学开学考试一、单选题1．抛物线的准线交轴于点，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，则直线的斜率为（）A.2B.C.D.2．如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到，运动过程种，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是（）A.B.C.D.3．对，设是关于的方程的实数根，，（符号表示不超过的最大整数）.则（）A.1010B.1012C.2018D.20204．定义在上的奇函数满足：当时，（其中为的导函数）.则在上零点的个数为（

2、）A.4B.3C.2D.15．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（）A.B.C.D.6．已知，下列程序框图设计的是求的值，在“*”中应填的执行语句是（）A.B.C.D.7．已知，则（）A.18B.24C.36D.568．设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.9．设双曲线的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.10．已知关于的

3、不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.11．已知双曲线的右支与抛物线交于两点，是抛物线的焦点，是坐标原点，且，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.12．定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题13．已知函数满足，且当时.若在区间内，函数有三个不同零点，则的范围为__________．14．如图所示，平面四边形的对角线交点位于四边形的内部，，，，，当变化时，对角线的最大值为__________．15．三棱锥的各顶点都

4、在同一球面上，若，，，侧面为正三角形，且与底面垂直，则此球的表面积等于__________．16．奇函数是上单调函数，有唯一零点，则的取值集合为____________．三、解答题17．已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，分别为椭圆的左，右两个顶点.若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，且线段的斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与相交于点，证明：三点共线.18．已知函数.(1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围；(2)若函数在上存在两个极值点，且，证明：.参考答案DCADBADDBC11．A12．A13．(14．315．16．17

5、．（1）；（2）见解析（1）∵点在椭圆，∴①．设，由线段的斜率之积为得，，∴②，由①②解得，，.所以椭圆的方程为.（2）由（1）可得轴，要证三点共线，只需证轴，即证.由消去y整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴设，，则，（*），因为直线，，即证：，即证.即证.将（*）代入上式可得，整理得.此式明显成立，故原命题得证.所以三点共线.18．(1)；(2)证明见解析.(1)由函数在上是减函数，知恒成立，.由恒成立可知恒成立，则，设，则，由，知，函数在上递增，在上递减，∴，∴.(2)由(1)知.由函数在上存在两个极值点，且，知，则且，联立得，即，设，则，

6、要证，只需证，只需证，只需证.构造函数，则.故在上递增，，即，所以.