向量的加法运算及其几何 意义

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1、向量的加法运算及其几何意义一、向量加法的两个法则：（1）“三角形法则”（2）“平行四边形法则”向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。2、化简：向量减法——三角形法则例．在平行四边形ABCD中，a，b，用a、b表示向量、。共线向量定理向量a(a≠0)与b共线时即a∥b，充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线

2、的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

3、a

4、＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

5、

6、＝.4

7、.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量

8、a

9、

10、b

11、cos__θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

12、a

13、

14、b

15、cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a

16、的长度

17、a

18、与b在a的方向上的投影

19、b

20、cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.1.两个向量的数量积：2.平面两向量数量积的坐标表示:3.向量平行与垂直的判定:4.平面内两点间的距离公式：5.求模：6，夹角：cosθ＝＝.熟练运算1.已知平面向量a，b的夹角为，

21、a

22、＝2，

23、b

24、＝1，则

25、a＋b

26、＝2.已知

27、

28、=2，

29、

30、=1，与之间的夹角为，那么向量=－4的模为（）A.2B.2C.6D.123.已知⊥、与、的夹角

31、均为60°，且

32、

33、=1，

34、

35、=2，

36、

37、=3，则(+2－)２＝______.4.若=(0,1),=(1,1)，且(+x)⊥，则x的值是( ) A.0  B.1 C. -1 D.2 5.设单位向量=(x,y),=(2,1)，若⊥则

38、x+2y

39、=________.6.已知

40、a

41、＝5，

42、b

43、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.7，已知向量a，b满足a·(a－2b)＝3，且

44、a

45、＝1，b＝(1，1)，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.8.向量a，b满足

46、a

47、

48、＝1，

49、b

50、＝，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为(　　)9.已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若

51、＋

52、＝

53、－

54、(O为坐标原点)，则锐角θ＝________.10．已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（）A．B．C．D．11．已知与，要使最小，则实数的值为___________。12．设点，,若点在直线上，且，则点的坐标为（）A．B．C．或D．无数多个13．若=，=，则在上的投影为________________。14．已知向量，向量，则的最大值是．15．若向量则。例

55、1.设平面内的向量,,，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及ÐAPB的余弦值．例2已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－sin2x)，b＝(cosx，1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值.例3，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行.(1)求

56、A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.例4，在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值.1.排列与组合的概念名称定义排列组合从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列合成一组2.排列数、组合数的公式及性质公式(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1性质(1)0！＝1；A＝n！.(2)C＝C；C＝C＋C【例1】3