2020届高考数学总复习课时跟踪练（三十五）专题探究课（三）文（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪练(三十五)A组　基础巩固1．(2019·开封定位测试)已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝.(1)求证：数列是等差数列；(2)若bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.(1)证明：易知an≠0，因为an＋1＝，所以＝，所以－＝，又因为a1＝，所以＝2，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列．(2)解：由(1)知，＝2＋(n－1)＝，即an＝，所以bn＝＝4，Sn＝4＝4＝.2．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝1，b1＝2，b2＝2a2，b3＝2a3＋2.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2

2、)若的前n项和为Sn，求证：Sn<2.(1)解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由题意得解得或(舍)所以an＝n，bn＝2n.(2)证明：由(1)知＝，所以Sn＝＋＋＋…＋＋，Sn＝＋＋＋…＋＋＋，两式相减得Sn＝＋＋＋…＋－＝－，所以Sn＝2－－，所以Sn<2.3．(2018·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝a

3、n＋4bn，求正整数n的值．解：(1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0)．由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.所以Tn＝＝2n－1.设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n，所以Sn＝.(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，整理得n

4、2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)，或n＝4.所以n的值为4.4．(2019·安阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋Bx＋C－1(B，C∈R)的图象上，且a1＝C.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an(a2n－1＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d＝n2＋n，又Sn＝n2＋Bn＋C－1，两式对照得解得所以a1＝C＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝(2n－1)(2·2n－1－1＋1)＝

5、(2n－1)2n，则Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－1)·2n，2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，两式相减得Tn＝(2n－1)·2n＋1－2(22＋23＋…＋2n)－2＝(2n－1)·2n＋1－－2＝(2n－3)·2n＋1＋6.B组　素养提升5．(2019·安庆模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，n∈N*，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn<成立的最大的正整数n.解：(1)设{an

6、}的公差为d.由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，可得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，又a1＝2，所以(3＋d)2＝3(3＋3d)，解得d＝3(d＝0舍去)，则an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.(2)bn＝＝＝，Sn＝＝＝.则Sn<即<，解得n<12，则所求最大的正整数n为11.6．在等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围．解：(1)设公差为d，由题意得解得

7、所以an＝3n.(2)因为Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，所以Tn＝，Tn＋1＝，所以Tn＋1－Tn＝－＝，所以当n≥3时，Tn＞Tn＋1，且T1＝1＜T2＝T3＝，所以Tn的最大值是，故实数m的取值范围是.