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《2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、实用标准文案2015年全国高中数学联合竞赛（A卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．21．设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x)xaxb满足f(a)f(b)，则f(2)aba答案：4.解：由己知条件及
2、二次函数图像的轴对称性，可得，即2ab0，22所以f(2)42ab4．142．若实数满足costan，则cos的值为．sin222答案：2.解：由条件知，cossin，反复利用此结论，并注意到cossin1，2214cossin22得cossin(1sin)(1cos)sinsin22sincos2．3．已知复数数列zn满足z11,zn1zn1ni(n1,2,)，其中i为虚数单位，zn表示zn的共轭复数，则z2015．答案：2015+1007i．解：由己知得，对一切正整数n，有zn2zn11(n1)izn1ni1(n1)izn2i,于是z2015z11007(2i
3、)20151007i．4．在矩形ABCD中，AB2,AD1，边DC上（包含点D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足条件DPBQ，则PAPQ的最小值为．3答案．4解：不妨设A(0,0),B(2,0),D(0,l)．设P的坐标为（t,l)（其中0t2），则由
4、DP
5、
6、BQ
7、得Q的坐标为（2，-t)，故PA(t,1,)PQ(2,tt1),因此，21233PAPQ(t)(2t)(1)(t1)tt1(t)．24413当t时，(PAPQ)min．245．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为．文档大全实用标准文案2答案：．解：设正方体为ABCD-EFGH
8、，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有553C12=220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或棱FG，共2种可能．当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG或82DH．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为．220556．在平面直角坐标系xOy中，点集(x,y)(x3y6)(3xy6)0所对应的平面区域的面
9、积为．答案：24．解：设K1{(x,y)
10、
11、x
12、
13、3y
14、60}．先考虑K1在第一象限中的部分，此时有x3y6,故这些点对应于图中的△OCD及其内部．由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部．同理，设K2{(x,y)
15、
16、3x
17、
18、y
19、60}，则K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部．由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被K1、K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S．由于直线CD的方程为x3y6，直线GH的方程为3xy6，故它们的交点P的坐3313标为(,)．由对称性知，S8SCPG8424．22
20、227．设为正实数，若存在实数a,b(ab2)，使得sinasinb2，则的取值范围为．9513答案：w[,)[,．)解：sinasinb2知，sinasinb1，而424sia,b[w,2w]，故题目条件等价于：存在整数k,l(kl)，使得w2k2l2w．①22当w4时，区间[w,2w]的长度不小于4，故必存在k,l满足①式．当0w4时，注意到[w,2w](0,8)，故仅需考虑如下几种情况：515(i)w2w，此时w且w无解；22245995(ii)w2w，此时w;224291313913(iii)w2w，此时w,得w4．224249513综合(i)、(ii)、
21、(iii)，并注意到w4亦满足条件，可知w[,)[,)．424文档大全实用标准文案8．对四位数abcd(1a9,0b，c,d9)，若ab,bc,cd,则称abcd为P类数；若ab,bc,cd，则称abcd为Q类数，用N(P)和N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为．答案：285．解：分别记P类数、Q类数的全体为A、B，再将个位数为零的P类数全体记为A0，个位数不等于零的尸类数全体记为A1．对任一四位数abcdA1，将其对应到四位数dcba，注意到ab,bc,cd1，故dcbaB．反之，每个dcbaB唯一对应于从中的元素abcd．这建立了A
22、1与B之间
