完全平方数的特征

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1、小学数学奥林匹克思维训练6.3完全平方数的特征 一、引例   少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1—200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？ 二、基础知识1、完全平方数的定义：如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。2、完全平方

2、数的计算（1）找规律①求由n个1组成的数的平方。如：112=1211112=1232111112=1234321=1234…n…4321（n≤9）②由n个3组成的数的平方。如：332=10893332=11088933332=11108889=（n≤9）③求个位数字是5的数的平方。如：152=225252=625352=1225452=2025这些数的平方末两位均为25，25前面的数为该数删去个位5所余下的数乘以它与1的和。即=a×(a+1)×100+25。（2）与平方数有关的一些公式①完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a―b)2=a2―2ab+b2②平方差公

3、式（a+b）(a―b)=a2―b23、完全平方数的性质由以上平方数不能发现完全平方数的以下特征：①完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。②在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。③任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1。即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。（请读者自己证明）④一个完全平方数被3除的余数是0或1。即被3除余2的数一定不是完全平方数。⑤完全平方数个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。⑥完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。⑦凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；

4、末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。这是因为，任何一个自然数的平方其末两位数字只有下列22种情况：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。⑧完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。⑨若质数p整除完全平方数a，则p2

5、a。（证明略） 三、例题选讲例1、证明11，111，…，，…这串数中没有完全平方数。（n≥2）证法一：由于是奇数，若是完全平方数，则只可能是奇数的平方。由于已知奇数的平方其

6、十位数字必为偶数，而的十位上的数字却是奇数1。所以不是完全平方数。证法二：如果（n≥2）是完全平方数，那么它必为奇数的平方。我们知道，奇数的平方被4除余1，而11，111，…，（n≥2）均被4除余3，故11，111，…，（n≥2）中没有完全平方数。例2：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？分析：由300个2和若干个0组成的整数，其位数至少是301位，除首位是2外，各数位上都有可能是2和0。但不可能逐个检查。由于各数位上的数字和为600（这是所有由300个2和若干个0组成的数的共同特性），所以组成的整数一定能被3整除，但600并非32=9的倍数。解：设由

7、300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600。∵3

8、600∴3

9、A但9

10、600∴9

11、A即A中只有3这个约数，而无32=9作为约数，所以A不是完全平方数。例3：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？分析：有奇数个约数为完全平方数，即求从200至1800的自然数中有多少个完全平方数。解：从200到1800的自然数中，完全平方数有152，162，……，422。共有42―15+1=28个数满足题意。例4：引例。分析：灯泡最终是明或暗与开关被拉的次数的奇偶性有关。最后明亮的灯泡开关应被拉过奇数次。而开关被拉动的次数等于该灯泡编号数的约数的个数，因此约数个

12、数为奇数个的编号，灯泡亮着，即编号为完全平方数的灯泡符合题意。解：某个灯泡，如果它的亮暗变化的次数是奇数，那么它是明亮的。根据题意可知，号码为K的灯泡，亮暗变化的次数等于K的约数的个数，若K的约数的个数是奇数，则K一定是平方数。所以200秒时，那些编号是平方数的灯泡是明亮的。因为200以内有14个平方数，所以200秒时明亮的灯泡有14个。例5、一个四位数是一个完全平方数，并且前两位数字相等，后两位数字相等，求这个四位数。解：设这个四位数为，由平方数的尾数特征①可知b=0，1，4，5，6，9。又由特征⑤，⑥，⑦可知1，5，6，9