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1、完全平方数及其性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。完全平方数及其性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可
2、以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。一、平方数有以下性质： 【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（
3、不包括0本身）不是完全平方数； 100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。这是因为 (2k+1
4、)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。【性质9】平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果
5、再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。关于完全平方数的数字和有下面的性质：【性质10】完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而(9k)^2=9(9k^2)+0(9k±1)^2=9(9k^2±2k)+1(9k±2)^2=9(9k^2±4k)+4(9k±3)^2=9(9k^2±6k)+9(9k±4)^2=9(9k^2±8k+1
6、)+7除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：【性质11】a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。【性质12】如果质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。证明 由题设可知，a有质因子p，但无因子p^2，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。【性质13】在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即【性质14】一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。【性质15】完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。【性质16
7、】若质数p整除完全平方数a，则p^2
8、a。【性质17】任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。二、重要结论（不是完全平方数的特点）1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数； 2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；7.形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+
