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时间:2019-10-29
《2019_2020学年高中数学课时分层作业7综合法与分析法(含解析)北师大版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时分层作业(七)(建议用时:45分钟)[基础达标练]一、选择题1.要证明+<2,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是( )A.综合法 B.分析法C.比较法D.归纳法[解析] 要证明+<2成立,可采用分析法对不等式两边平方后再证明.[答案] B2.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )A.< B.a2>b2C.>D.a
2、c
3、>b
4、c
5、[解析] ∵a>b,c2+1>0,∴>,故选C.[答案] C3.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证( )A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0
6、D.(a2-1)(b2-1)≥0[解析] a2+b2-1-a2b2=-(a2-1)(b2-1)≤0.[答案] D4.设a,b∈R,则“a+b=1”是“4ab≤1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] 若“a+b=1”,则4ab=4a(1-a)=-4+1≤1;若“4ab≤1”,取a=-4,b=1,a+b=-3,即“a+b=1”不成立.故“a+b=1”是“4ab≤1”的充分不必要条件.[答案] A5.设a>b>0,m=-,n=,则( )A.mnC.m=nD.不能确定[解析] ∵a>b
7、>0,∴>,∴->0,>b.2-()2=a+b-2-(a-b)=2(b-)<0,∴(-)2<()2,∴-<,即m0,b>0,c>0,且a+b+c=1,若M=··,则M的最小值为__________.[解析] M=≥8···=8,当且仅当a=b=c=时,等号成立.[答案] 87.有以下四个不等式:①(x+1)(x+3)>(x+2)2;②ab-b20;④a2+b2≥2
8、ab
9、.其中恒成立的为__________(写出序号即可).[答案] ③④8.已知a>0,b>0且a+b=1,则++与8的大小关系是_
10、_________.[解析] ∵a>0,b>0且a+b=1,∴1=a+b≥2>0,进而得≥2,于是得≥4.又∵++===2·≥8.故得++≥8.[答案] ++≥8三、解答题9.设a>0,b>0,c>0.证明:(1)+≥;(2)++≥++.[证明] (1)∵a>0,b>0,∴(a+b)≥2·2=4,∴+≥.(2)由(1)知+≥.同理,+≥,+≥,三式相加,得:2≥++,∴++≥++.10.如果a>b,ab=1,求证:a2+b2≥2(a-b),并指明何值时取“=”号.[证明] 因为a>b,所以a-b>0,欲证a2+b2≥2(a-b),只需证≥2.因为
11、a>b,a-b>0,又知ab=1.所以===(a-b)+≥2=2.所以≥2,即a2+b2≥2(a-b).当且仅当a-b=,即a-b=且ab=1时,取等号.[能力提升练]1.设<<<1,则( )A.aa<ab<baB.aa<ba<abC.ab<aa<baD.ab<ba<aa[解析] ∵<<<1,∴0<a<b<1,∴=aa-b>1,∴ab<aa,=.∵0<<1,a>0,∴<1,∴aa<ba,∴ab<aa<ba.故选C.[答案] C2.若a,b,c∈R,且ab+bc+ac=1,则下列不等式成立的是( )A.a2+b2+c2≥2B.(a+b+c)2≥
12、3C.++≥2D.abc(a+b+c)≤[解析] 因为a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,将三式相加,得2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,即a2+b2+c2≥1.又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,所以(a+b+c)2≥1+2×1=3.故B成立.[答案] B3.若不等式++>0在条件a>b>c时恒成立,则实数λ的取值范围是________.[解析] 不等式可化为+>.∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0,∴λ<+恒成立.∵+=+=2++≥2+2=4,∴λ<4.故实数
13、λ的取值范围是(-∞,4).[答案] (-∞,4)4.已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+≥6,并确定a,b,c为何值时等号成立.[证明] 因为a,b,c均为正数,由平均值不等式得a2+b2+c2≥3(abc),①++≥3(abc),所以≥9(abc),②故a2+b2+c2+2≥3(abc)+9(abc).又3(abc)+9(abc)≥2=6,③所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)=9(abc)时,③式等号成立.因此当且仅当a=b=c=3时,等号成立.
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