2019_2020学年高中数学第3章圆锥曲线与方程44.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点学案北师大版

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1、4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点学习目标：1.掌握圆锥曲线的共同特征．(重点)2.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点)3.掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．(难点)1．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线共同特征e的值或范围椭圆0＜e＜1圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条抛物线e＝1定直线的距离之比为定值e双曲线e＞1222思考：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：a－cx＝a（x－c）＋y，22（x－c）＋yc将其变形为：2＝.aa－xc(1)你能解释这个式子的意义吗？(2)具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？2a[提示](1)这

2、个式子表示一个动点P(x，y)到定点(c，0)与到定直线x＝的距离之比等cc于定值.a(2)不一定．当a>c时，是椭圆，当a＝c时是抛物线，当a

3、解．(2)直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相切、相交和相离．①相离时，直线与圆锥曲线没有公共点；②相切时，直线与圆锥曲线有一个公共点；③相交时，直线与椭圆有两个公共点，而拋物线和双曲线则可能有一个或两个交点．1.判断正误(1)椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是2.()165(2)曲线上的点M(x，y)到定点(5，0)的距离和它到定直线l：x＝的比是常数，则曲54线是双曲线．()2(3)直线y＝x与抛物线y＝x的交点是(0，0)与(1，1)．()[答案](1)×(2)√(3)√22．已知抛物线y＝8x的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率为2，则弦AB

4、的长为()A．6B．8C．10D．122C[由y＝8x得p＝4，焦点(2，0)，则直线方程为y＝2(x－2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝2（x－2），2由有x－6x＋4＝0，2y＝8x，∴x1＋x2＝6.∴

5、AB

6、＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10.]22xy3．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为()94A．相交B．相切C．相离D．不确定A[因为直线过定点(1，1)，而(1，1)点在椭圆内部，故直线与椭圆必相交．]22xy4．如果双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离等于3，那么点P到右准线的距离是169________．1253[由题知a＝4，b＝3

7、，c＝5，∴e＝.由双曲线的第二定义，设所求距离为d，则＝54d5.412∴d＝.]5圆锥曲线的共同特征的应用

8、3x－4y－1

9、122【例1】(1)已知动点P(x，y)满足＝（x－1）＋（y－5），则动点P53的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线(2)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为()2A.2B.212C.D.2422xy(3)椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么P到右焦点的距离为259________．

10、3x－4y－1

11、(1)B(2)B(3)8[(1)点P(x，y)到直线3x－4y

12、－1＝0的距离为d＝；点522

13、PA

14、P(x，y)到A(1，5)的距离为

15、PA

16、＝（x－1）＋（y－5），∴＝3＞1，∴点P的轨迹是d双曲线．22(2)结合题意，由椭圆第二定义知e＝2＝.21(3)设F1、F2分别为左、右焦点，P到左准线的距离d＝2.5，则P到左焦点的距离

17、PF1

18、＝45e·d＝×＝2.52∴

19、PF2

20、＝2a－

21、PF1

22、＝10－2＝8.]1．圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线的距离之比是一个常数，这本身就是一个几何关系．由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线方程．2．利用圆锥曲线的共同特征可将其上一点到焦点的距离与相应准线的距离进行

23、转化，进而实现求解．1．根据下列条件分别求椭圆的标准方程．45－1，(1)经过点5，且一条准线为直线x＝5；185(2)两准线间的距离为，焦距为25.5[解](1)因为椭圆的一条准线为直线x＝5，所以椭圆的焦点在x轴上．设椭圆的标准方22xy程为＋＝1(a＞b＞0)．22ab116＋＝1，22a5b根据题意，得2a＝5，22a－b2a＝21，2a＝5，解得或2842b＝.b＝4252222yxyx故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.542184252a1852·＝，a＝3，c5(2)根据题意，得解得b＝2，2c＝25，222c＝5.a＝