2019_2020学年高中数学第2章变化率与导数44.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则学案北师大版

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1、4.1　导数的加法与减法法则4.2　导数的乘法与除法法则学习目标核心素养1．理解导数的四则运算法则．(重点)2．能够利用导数的四则运算法则求导．(重难点)通过利用导数的四则运算法则求导，培养了学生的数学运算的核心素养.1．导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．2．导数的乘法与除法法则一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，＝(g(x)≠

2、0)．特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝kf′(x)．1．函数y＝x＋的导数是(　　)A．1－　　　B．1－C．1＋D．1＋A　[∵y＝x＋，∴y′＝＝x′＋＝1－.]2．已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是(　　)A.　　　　B.C.　　　　D.C　[由f(x)＝ax3＋3x2＋2，得f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，故a＝.]3．若f(x)＝，则f′(x)＝________.　[f′(x)＝＝＝.]导数的四则运算【例1】　(1)函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数是________；(2)

3、函数y＝2xcosx－3xlnx的导数是________；(3)函数y＝的导数是________．思路探究：仔细观察和分析各函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，必要时可进行适当的恒等变形后求导．(1)y′＝18x2－8x＋9　(2)y′＝2xln2cosx－2xsinx－3lnx－3　(3)y′＝　[(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.(2)y′＝(2

4、xcosx－3xlnx)′＝(2x)′cosx＋2x(cosx)′－3[x′lnx＋x(lnx)′]＝2xln2cosx－2xsinx－3·＝2xln2cosx－2xsinx－3lnx－3.(3)y′＝＝＝＝.]求导的两点要求1．先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数．2．对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．1．求下列各函数的导数．(1)y＝(＋1)；(2)y＝x－sincos；(3)y＝.[解]　(1)化简得y＝·－＋－1＝－x＋x，∴y′＝－x－x＝.(2)∵y＝x－sin

5、cos＝x－sinx，∴y′＝＝x′－(sinx)′＝1－cosx.(3)y′＝＝.利用导数求曲线的切线方程【例2】　求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．思路探究：点(1，－1)不一定是切点，故设出切点坐标(x0，y0)，求出f′(x0)．写出切线方程，利用点(1，－1)在切线上求x0，从而求出切线方程．[解]　设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x)＝3x－2，故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)．①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x－2x0.②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x－2

6、x0)＝(3x－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－.∴k＝1或k＝－.故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.求切线的注意点1．求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P处的切线方程，还是求过点P与曲线相切的直线方程．2．本题中点(1，－1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点．2．求曲线y＝在点(1,1)处的切线方程．[解]　y′＝＝，∴当x＝1时，y′＝＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝0.因此，曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为y＝1．导数运

7、算法则的综合应用[探究问题]1．二次函数y＝f(x)的图像过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图像是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图像的顶点在第几象限？[提示]　设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，∵y＝f′(x)＝2ax＋b的图像是一条过第一、二、三象限的直线，∴即a>0，b>0，∴－<0，<0，∴f(x)的图像的顶点在第三象限．2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，试求f′(－1)的值．[提示]　由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2