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《高考数学必考题型立体几何与空间向量 (4)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第29练 空间向量解决立体几何问题两妙招——“选基底”与“建系”题型一 选好基底解决立体几何问题例1 如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点、(1)求证：MN⊥AB,MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM夹角的余弦值、破题切入点 选好基底,将问题中涉及的向量用所选定的基底来线性表示,然后运算、(1)证明 设＝p,＝q,＝r.由题意可知：
2、p
3、＝
4、q
5、＝
6、r
7、＝a,且p、q、r三向量两两夹角均为60°.＝－＝(＋)－＝(q＋r－
8、p),∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2·cos60°＋a2·cos60°－a2)＝0.∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.(2)解 由(1)可知＝(q＋r－p),∴
9、
10、2＝2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝[a2＋a2＋a2＋2(－－)]＝×2a2＝.∴
11、
12、＝a,∴MN的长为a.(3)解 设向量与的夹角为θ.∵＝(＋)＝(q＋r),＝－＝q－p,∴·＝(q＋r)·(q－p)＝(q2－q·p＋r·q－r·p)＝(a2－a2·cos60
13、°＋a2·cos60°－a2·cos60°)＝(a2－＋－)＝.又∵
14、
15、＝
16、
17、＝a,∴·＝
18、
19、·
20、
21、·cosθ＝a·a·cosθ＝.∴cosθ＝,∴向量与的夹角的余弦值为,从而异面直线AN与CM夹角的余弦值为.题型二 建立空间直角坐标系解决立体几何问题例2 如图,在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA＝AB＝1,BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.破题切入点 建立空间直角坐标系后,使用向量共线的充要条件证
22、明∥即可证明(1)问,第(2)问根据向量的垂直关系证明线线垂直,进而证明线面垂直,得出面面垂直、另外也可用选基底的方法来解决、证明 方法一 (坐标法)以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),E(,1,),F(0,1,),所以＝(－,0,0),＝(1,0,－1),＝(0,2,－1),＝(0,0,1),＝(0,2,0),＝(1,0,0),＝(1,0
23、,0)、(1)因为＝－,所以∥,即EF∥AB.又AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)因为·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0,·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0,所以⊥,⊥,即AP⊥DC,AD⊥DC.又AP∩AD＝A,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC.方法二 (选基底法)选取、、作为空间向量的一组基底、(1)由于E、F分别是PC、PD的中点,所以＝＝－,即与共线,EF⊄面PAB,AB⊂面P
24、AB,∴EF∥面PAB.(2)由于ABCD为矩形,且PA⊥面ABCD,∴·＝·＝·＝0.所以有AB⊥面PAD,又∥,∴CD⊥面PAD,CD⊂面PCD,从而有平面PAD⊥平面PDC.题型三 综合应用问题例3 如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝AD＝1,E为CD的中点、(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE？若存在,求AP的长；若不存在,说明理由、破题切入点 利用向量法建立空间直角坐标系,将几何问题进行转化；对于存在性问题可通过计算得结
25、论、(1)证明 以A为原点,向量,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)、设AB＝a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故＝(0,1,1),＝,＝(a,0,1),＝.∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0,∴B1E⊥AD1.(2)解 假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0)、使得DP∥平面B1AE,此时＝(0,－1,z0)、又设平面B1AE的法向量n＝(x,y,z)、∵n⊥平面B1AE,∴n⊥,n⊥,得取x＝1,得平面B
26、1AE的一个法向量n＝.要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有－az0＝0,解得z0＝.又DP⊄平面B1AE,∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP＝.总结提高 (1)利用选基底的方法证明位置关系或求解空间角等问题时,首先要选好基底,再次解决问题时所用的方法要熟练掌握、(2)利用建系的方法来解决立体几何问题时类似于选基底的办法,关键是理清原理,然后寻求原理所需要的条件来解决、1、下列各组向量共面的是( )A、a＝(1,2,3),b＝(3,0,2),c＝(4,2,5)B、a＝(1,0,0),
