高考数学必考题型立体几何与空间向量 (2)

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1、第27练　空间几何体的三视图及表面积与体积题型一　三视图识图例1　将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的侧(左)视图为(　　)破题切入点　根据三视图先确定原几何体的直观图和形状,然后再解题、答案　B解析　还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线、D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线、题型二　空间几何体的表面积和体积例2　如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为(　　)A、36(π＋)B、36(π＋2)C、108πD、10

2、8(π＋2)破题切入点　先根据三视图的结构特征确定几何体的构成——半圆锥与棱锥的组合体,然后把三视图中的数据转化为该组合体的数字特征,分别求出对应几何体的体积,则两者体积之和即该组合体的体积、答案　B解析　由俯视图,可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成,结合正视图和侧视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的,并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合,两个锥体的高相等、由三视图中的数据,可得该圆锥的底面半径r＝6,三棱锥的底面是一个底边长为12,高为6的等腰三角形,两个锥体的高h＝＝6,故

3、半圆锥的体积V1＝×π×62×6＝36π.三棱锥的底面积S＝×12×6＝36,三棱锥的体积V2＝Sh＝×36×6＝72.故该几何体的体积V＝V1＋V2＝36π＋72＝36(π＋2)、故选B.题型三　立体几何中的综合问题例3　(2014·陕西)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四面体EFGH是矩形、破题切入点　由三视图和几何体得知原几何体中各元素的量和性质来求解、(1)解　由该四面

4、体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD＝DC＝2,AD＝1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD体积V＝××2×2×1＝.(2)证明　∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC＝FG,平面EFGH∩平面ABC＝EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形,又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形、总结提高　(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上

5、方观察几何体画出的轮廓线、画三视图的基本要求：正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高、(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样、(3)立体几何中有关表面积、体积的计算首先要熟悉几何体的特征,其次运用好公式,作好辅助线等、1、(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(　　)答案　D解析　由三视图可知上部是一个圆台,下部是一个圆柱,选D.2、如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线

6、画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体、其中左面圆柱的高为4cm,底面半径为2cm,右面圆柱的高为2cm,底面半径为3cm,则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3),原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3),则所求比值为＝.3、(2014·浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则

7、此几何体的表面积是(　　)A、90cm2B、129cm2C、132cm2D、138cm2答案　D解析　该几何体如图所示,长方体的长、宽、高分别为6cm,4cm,3cm,直三棱柱的底面是直角三角形,边长分别为3cm,4cm,5cm,所以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋＝99＋39＝138(cm2)、4、(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(　　)A、54B、60C、66D、72答案　B解析　由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形,由正视图和侧视图可以

8、判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的、在长方体中分析还原,如图(1)所示,故该几何体的直观图如图(2)所示、在图(1)中,直角梯形ABPA1的面积为×(2＋5)×4＝14,计算可得A1P＝5.直角梯形BCC1P的面积为×(2＋5)×5＝.因为A1C1⊥平面A1ABP,A1P⊂平面A1ABP,所以A1C1⊥A1P,故Rt△A1PC1的面积为×5×3＝.又Rt△ABC的面积为×4×3＝6,矩形ACC1A1的面积为5×3＝15,故几何体A