高考数学必考题型立体几何与空间向量 (1)

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1、第30练　空间角的突破方略题型一　异面直线所成的角例1　在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中,求异面直线BA1与AC所成的角、破题切入点　利用·＝

2、

3、·

4、

5、×cos〈,〉,求出向量与的夹角〈,〉,再根据异面直线BA1,AC所成角的范围确定异面直线所成角、还可用几何法或坐标法、解　方法一　因为＝＋,＝＋,所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·.因为AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,所以·＝0,·＝0,·＝0,·＝－a2.所以·＝－a2.又·＝

6、

7、·

8、

9、·cos〈,〉,cos〈,〉＝＝－.所以〈,〉＝120°.所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.方法二　连接A1C1,BC

10、1,则由条件可知A1C1∥AC,从而BA1与AC所成的角亦为BA1与A1C1所成的角,由于该几何体为边长为a的正方体,于是△A1BC1为正三角形,∠BA1C1＝60°,从而所求异面直线BA1与AC所成的角为60°.方法三　由于该几何体为正方体,所以DA,DC,DD1两两垂直且长度均为a,于是以D为坐标原点,,,分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,于是有A(a,0,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),B(a,a,0),从而＝(－a,a,0),＝(0,－a,a),且

11、

12、＝

13、

14、＝a,·＝－a2,∴cos〈,〉＝＝－,〈,〉＝120°,所以所求异面直线BA1与AC所成角为60°.题

15、型二　直线与平面所成的角例2　如图,已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD的中点、(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值、破题切入点　平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键,本题可通过建立坐标系,利用待定系数法求出平面PEH的法向量、(1)证明　以H为原点,HA,HB,HP所在直线分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长度,建立空间直角坐标系(如图),则A(1,0,0),B(0,1,0)、设C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0),则D(0,m,0

16、),E.可得＝,＝(m,－1,0)、因为·＝－＋0＝0,所以PE⊥BC.(2)解　由已知条件可得m＝－,n＝1,故C,D,E,P(0,0,1)、设n＝(x,y,z)为平面PEH的法向量,则即因此可以取n＝(1,,0)、又＝(1,0,－1),所以

17、cos〈,n〉

18、＝.所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.题型三　二面角例3　如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF＝AB＝BC＝FE＝AD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；(3)求二面角A－CD－E的余弦值、破题切入点　以点A为坐标原点

19、建立空间直角坐标系、(1)解　如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设AB＝1,依题意得B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),M.＝(－1,0,1),＝(0,－1,1),于是cos〈,〉＝＝＝.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.(2)证明　由＝,＝(－1,0,1),＝(0,2,0),可得·＝0,·＝0.因此,CE⊥AM,CE⊥AD.又AM∩AD＝A,故CE⊥平面AMD.而CE⊂平面CDE,所以平面AMD⊥平面CDE.(3)解　设平面CDE的法向量为u＝(x,y,z),则于是令x＝1可得u＝(1,1,1)、又由题设,平面

20、ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)、所以cosu,v＝＝＝.因为二面角A－CD－E为锐角,所以其余弦值为.总结提高　空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角、(1)异面直线所成的角的范围是(0,]、求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决、具体步骤如下：①利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角、(2)直线与平面所成的角的范围是[0,]、求直线和平面所成的角用的是射影转化法、具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂

21、直的直线；②连接垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算、注：斜线和平面所成的角,是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角,即若θ为线面角,α为斜线与平面内任何一条直线所成的角,则有θ≤α.(3)确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直