2、＝x2－alnx在(1,2)上为增函数,则a的值等于( )A、1B、2C、0D.破题切入点 函数f(x)在(0,1)上为减函数,g(x)在(1,2)上为增函数,利用导函数f′(x)≤0在[0,1]上恒成立,g′(x)≥0在[1,2]上恒成立解出两个a的取值范围,求出交集即可、答案 B解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数,∴≥1,得a≥2.又∵g′(x)＝2x－,依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立,得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立,有a≤2,∴a＝2.题型三 与函数导数、单调性有关的图象问题例3 已知函数y＝－xf′(x)的
3、图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y＝f(x)的图象可能是( )破题切入点 先由y＝－xf′(x)的图象找出f′(x)的符号,再根据f′(x)的符号找出f(x)的大致图象、答案 B解析 由函数y＝－xf′(x)的图象知,x<－1时,f′(x)>0,f(x)为增函数；－11时,f′(x)>0,f(x)为增函数、故B选项的图象符合、总结提高 (1)利用导数判断函数单调性的一般步骤：①确定函数的定义域、②求导函数f′(x)、③若求单
4、调区间或证明单调性,只需在函数f(x)的定义域内解或证明不等式f′(x)>0或f′(x)<0；若已知函数f(x)的单调性则转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解,一般是利用函数与方程思想,将字母分离出来、(2)利用导数解决函数单调性应注意的问题：①单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,首先要求函数的定义域,因为函数求导之后,自变量的取值范围可能会发生变化、②求可导函数的单调区间即为解不等式,若已知函数单调性求参数范围,转化为恒成立问题,注意验证所得参数范围的端点值、1、若函数h(x)＝2x－＋在(1,＋∞)上是增函数,
5、则实数k的取值范围是( )A、[－2,＋∞)B、(2,＋∞)C、(－∞,－2]D、(－∞,2)答案 A解析 由条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1,＋∞)上恒成立,即k≥－2x2在(1,＋∞)上恒成立,所以k∈[－2,＋∞)、2、已知f(x)＝x2＋sin(＋x),f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的图象是( )答案 A解析 f(x)＝x2＋sin(＋x)＝x2＋cosx,f′(x)＝x－sinx.易知该函数为奇函数,所以排除B、D.当x＝时,f′()＝×－sin＝－<0,可排除C.选A.3、若函数y＝f(x)在R上可导,且满足不等式xf′(x)>－
6、f(x)恒成立,且常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是( )A、af(b)>bf(a)B、af(a)>bf(b)C、af(a)－f(x),得xf′(x)＋f(x)>0,即F′(x)>0,所以F(x)在R上为递增函数、因为a>b,所以af(a)>bf(b)、4、(2014·课标全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1,＋∞)单调递增,则k的取值范围是( )A、(－∞,－2]B、(－∞,－1]C、[2,＋∞)D、[1
7、,＋∞)答案 D解析 由于f′(x)＝k－,f(x)＝kx－lnx在区间(1,＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1,＋∞)上恒成立、由于k≥,而0<<1,所以k≥1.即k的取值范围为[1,＋∞)、5、设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)＝0,当x>0时,有<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是( )A、(－2,0)∪(2,＋∞)B、(－2,0)∪(0,2)C、(－∞,－2)∪(2,＋∞)D、(－∞,－2)∪(0,2)答案 D解析 x>0时′<0,∴φ(x)＝为减函数,又φ(2)＝0,∴当且仅当00,此时x2f(x)>0
8、.又f(x)为奇函数,∴h(x)＝x2
