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《高考数学必考题型函数与导数 (5)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第16练 函数的极值与最值题型一 函数极值与极值点的判断、求解问题例1 (2013·浙江)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2),则( )A、当k＝1时,f(x)在x＝1处取到极小值B、当k＝1时,f(x)在x＝1处取到极大值C、当k＝2时,f(x)在x＝1处取到极小值D、当k＝2时,f(x)在x＝1处取到极大值破题切入点 对函数f(x)求导之后,将k＝1,2分别代入讨论、答案 C解析 当k＝1时,f′(x)＝ex·x－1,f′(1)≠0.∴x＝1不是f(
2、x)的极值点、当k＝2时,f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)显然f′(1)＝0,且x在1的左边附近f′(x)<0,x在1的右边附近f′(x)>0,∴f(x)在x＝1处取到极小值、故选C.题型二 根据函数的极值来研究函数图象问题例2 已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点,则c等于( )A、－2或2B、－9或3C、－1或1D、－3或1破题切入点 结合函数的极值点,作出函数大致图象来解决、答案 A解析 ∵y′＝3x2－3,∴当y′＝0时,x＝±1.则当x变化时,y′,y的变化情
3、况如下表：x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,＋∞)y′＋－＋yc＋2c－2∴当函数图象与x轴恰有两个公共点时,必有c＋2＝0或c－2＝0,∴c＝－2或c＝2.题型三 函数的极值问题例3 已知函数f(x)＝(m,n∈R)在x＝1处取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝lnx＋,若对任意的x1∈R,总存在x2∈[1,e],使得g(x2)≤f(x1)＋,求实数a的取值范围、破题切入点 (1)对函数进行求导,结合题中条件列出方程组,解出参数的值(需验证),即可得到函数
4、的解析式、(2)利用导数讨论函数g(x)的最小值,通过求解不等式得出实数a的取值范围、解 (1)f′(x)＝＝,由于f(x)在x＝1处取得极值2,故f′(1)＝0,f(1)＝2,即解得m＝4,n＝1,经检验,此时f(x)在x＝1处取得极值、故f(x)＝.(2)由(1)知f(x)的定义域为R,且f(－x)＝－f(x)、故f(x)为奇函数,f(0)＝0.当x>0时,f(x)>0,f(x)＝≤2,当且仅当x＝1时取“＝”、当x<0时,f(x)<0,f(x)＝≥－2,当且仅当x＝－1时取“＝”、故f(x)
5、的值域为[－2,2],从而f(x1)＋≥.依题意有g(x)min≤,x∈[1,e],g′(x)＝－＝,①当a≤1时,g′(x)≥0,函数g(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为g(1)＝a≤1<,符合题意；②当1,不符合题意、综合所述,a
6、的取值范围为(－∞,]、题型四 函数的最值问题例4 已知函数f(x)＝x2＋lnx.(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间(1,＋∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方、破题切入点 (1)f(x)在闭区间[1,e]上的最大值、最小值要么在端点处取得,要么在极值点处取得、所以首先要研究f(x)在[1,e]上的单调性、(2)f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方,即g(x)－f(x)在(1,＋∞)上恒大于0.(1)解 当x∈[1,e]时,
7、f′(x)＝x＋>0,所以f(x)在区间[1,e]上为增函数、所以当x＝1时,f(x)取得最小值；当x＝e时,f(x)取得最大值e2＋1.(2)证明 设h(x)＝g(x)－f(x)＝x3－x2－lnx,x∈(1,＋∞),则h′(x)＝2x2－x－＝＝.当x∈(1,＋∞)时,h′(x)>0,h(x)在区间(1,＋∞)上为增函数,所以h(x)>h(1)＝>0.所以对于x∈(1,＋∞),g(x)>f(x)成立,即f(x)的图象在g(x)的图象的下方、总结提高 (1)准确把握函数极值与最值的概念,极值是函
8、数的局部性质,在所给的区间上极大值和极小值不一定唯一,且极大值不一定大于极小值,而最值是函数的整体性质,在所给的区间上最大值一定大于最小值,且最大值和最小值都是唯一的、(2)函数在x0处取得极值,有f′(x0)＝0,而f′(x0)＝0不一定有f(x)在x0处取得极值、(3)两者之间的联系,求最值时先要求出极值然后和区间端点函数值相比较而得出最大值和最小值、1、(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在、若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点,则( )
