2019_2020学年高中数学课时分层作业9渐开线与摆线（含解析）新人教A版选修4_4

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1、课时分层作业(九)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是(　　)A．π　　　　B．2π　　　　C．3π　　　　D．4π[解析]　圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.[答案]　B2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建

2、立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有(　　)A．①③B．②④C．②③D．①③④[解析]　①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C.[答案]　C3．当φ＝2π时，圆的渐开线上的点是(　　)A．(6,0)　　　　　　B．(6,6π)C．(6，－12π)D．(－π，12π)[解析]　当φ＝2

3、π时，代入圆的渐开线方程．∴x＝6(cos2π＋2π·sin2π)＝6，y＝6(sin2π－2π·cos2π)＝－12π.[答案]　C4．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为(　　)A.－1B.C.D.[解析]　根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得即A，∴

4、AB

5、＝＝.[答案]　C5．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为(　　)A.　B.C.　D.[解析]　圆的摆线的参数方程为令r(1－cosφ)＝0，得：φ＝2kπ，代

6、入x＝r(φ－sinφ)得：x＝r(2kπ－sin2kπ)，又过(1,0)．∴r(2kπ－sin2kπ)＝1，∴r＝.又r＞0，∴k∈N＋.[答案]　A二、填空题6．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．[解析]　由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2)．[答案]　(π，2)7．已知平摆线的方程为(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________．[解析]　由已知方程可化为知基圆半径为r＝1，∴拱高

7、为2r＝2，周期为2π.[答案]　2　2π8．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．[解析]　根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y2＝36，整理可得＋＝1，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．[答案]　(6，0)和(－6，0)三、解答题9．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.(1)如果把圆心

8、平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？(2)写出平移后圆的渐开线方程．[解]　(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是(φ为参数)．10．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．[解]　因为基圆的直径为22mm，所以基圆的半径为11mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为(φ为参数)．[能力提升练]1．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开

9、线”，其中、、、…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是(　　)A．3πB．4πC．5πD．6π[解析]　根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π，所以曲线AEFGH的长是5π.[答案]　C2．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．[解析]　关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出

10、摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．[答案]　(φ为参数)3．已知圆的渐开线的参数方程