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时间:2019-10-29
《2019_2020学年高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.1函数的应用(二)讲义新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.5 函数的应用(二)最新课程标准:运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法),再结合实例,更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程,学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.4.5.1 函数的零点与方程的解知识点一 函数的零点1.零点的定义对于函数y=f(x),把f(x)=0的实数x,叫做函数y=f(x)的零点.2.方程的根与函数零点的关系 函数的零点不是一个点,而是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零.知识点二 函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f
2、(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 定理要求具备两条:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)<0.[教材解难]1.教材P142思考能.先构造函数f(x)=lnx+2x-6,再判断函数f(x)是增函数,又f(2)<0,f(3)>0,∴方程lnx+2x-6=0的根在2,3之间.[基础自测]1.函数y=3x-2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( )A.; B.;C.-;
3、-D.;-解析:令3x-2=0,则x=,∴函数y=3x-2的图象与x轴的交点坐标为,函数零点为.答案:B2.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的一个区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3-1>0,∴f(1)·f(2)<0,∴函数f(x)的一个零点区间为(1,2).答案:B3.函数f(x)=x3-x的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3解析:f(x)=x(x-1)(x+1),令x(x-1)(x+1)=0,解得x=0,x=1,x=-1,
4、即函数的零点为-1,0,1,共3个.答案:D4.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.解析:由得∴g(x)=-6x2-5x-1的零点是-,-.答案:-,-题型一 函数零点的概念及求法例1 (1)下列图象表示的函数中没有零点的是( )(2)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.①f(x)=-x2-4x-4.②f(x)=4x+5.③f(x)=log3(x+1).【解析】 (1)由图观察,A中图象与x轴没有交点,所以A中函数没有零点.(2)①令-x2-
5、4x-4=0,解得x=-2,所以函数的零点为x=-2.②令4x+5=0,则4x=-5<0,即方程4x+5=0无实数根,所以函数不存在零点.③令log3(x+1)=0,解得x=0,所以函数的零点为x=0.【答案】 (1)A (2)见解析 1.由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点.2.求函数对应方程的根即为函数的零点.方法归纳函数零点的求法求函数y=f(x)的零点通常有两种方法:其一是令f(x)=0,根据解方程f(x)=0的根求得函数的零点;其二是画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴的交点的横坐标即为函
6、数的零点.跟踪训练1 若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,求实数a的值,并求函数f(x)其余的零点.解析:由题意知f(-3)=0,即(-3)2-3-a=0,a=6.所以f(x)=x2+x-6.解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.由函数f(x)的零点是-3,得f(-3)=0,求a.题型二 确定函数零点的个数[教材P143例1]例2 求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.【解析】 设函数f(x)=lnx+2x-6,利用计算工具,列出函数y=f(x)的对应值表(表),并画出图象(
7、图). 表xy1-42-1.306931.098643.386355.609467.791879.9459812.0794914.1972 图由表和图可知,f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0.由函数零点存在定理可知,函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内至少有一个零点.容易证明,函数f(x)=lnx+2x-6,x∈(0,+∞)是增函数,所以它只有一个零点,即相应方程lnx+2x-6=0只有一个实数解. 可以先借助计算工具画出函数y=lnx+2x-6的图象或列出x,y的对应值表,为
8、观察、判断零点所在区间提供帮助.教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法:若方程f(x)=0的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数.(2)图象法:由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一坐标系内作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象
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