2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.1函数的零点与方程的解学案新人教A版.docx

《2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.1函数的零点与方程的解学案新人教A版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、4．5.1　函数的零点与方程的解1．理解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的关系．2．会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间．3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．1．函数的零点对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(

2、a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条：(1)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；(2)f(a)·f(b)<0.1．给定二次函数y＝x2＋2x－3，其图象如下：(1)方程x2＋2x－3＝0的解是什么？(2)函数的图象与x轴的交点是什么？(3)方程的解与交点的横坐标有什么关系？(4)通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？[答案]　(1)－3,1(2)(－3,0)，(1,

3、0)(3)相等(4)在每一个交点附近两侧函数值符号异号2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．(　　)(2)若方程f(x)＝0有两个不等实数解x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．(　　)(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　)(4)在[a，b]上函数f(x)是连续并且单调的函数，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)有唯一零点．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√题型一求函数的零点【典例1】　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x

4、＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝.[思路导引]　判断方程f(x)＝0是否有实数解，并求出即可．[解]　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.　函数零点的求解要点求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数解，则函数f(

5、x)存在零点，该方程的解就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．[针对训练]1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)A.，0B．－2,0C.D．0[解析]　当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数零点为0.选D.[答案]　D2．若2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，则m＝________.[解析]　∵2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，∴f(2)＝0，得4－m＝0，∴m＝4.[答案]　4题型二判断函数零点所在的区间【典例2】　函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　　)A．(1,2)B．(2

6、,3)C．(3,4)D．(e，＋∞)[解析]　∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－>0，∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2,3)内有零点．[答案]　B　判断函数零点所在区间的3个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．[针对训练]3．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)A.B.C.D.[解析]　∵f＝－2<0

7、，f＝－1>0，∴f·f<0，∴零点在上．[答案]　C4．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)A．－2B．0C．1D．3[解析]　f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.[答案]　A题型三判断函数零点的