2019_2020学年高中数学第4章函数的应用（二）4.5.1函数的零点与方程的解教学案新人教A版.docx

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1、4.5.1　函数的零点与方程的解(教师独具内容)课程标准：1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．教学重点：函数零点的概念，函数零点存在定理及其应用．教学难点：运用函数零点存在定理判断函数零点所在的区间及函数零点的个数.【知识导学】知识点一　　　函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的实数解．知识点二　　　方

2、程的解与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．知识点三　　　函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的解．注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．(2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．【

3、新知拓展】(1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝来理解，易知f(－1)·f(1)＝－1×1<0，但显然y＝在(－1,1)内没有零点．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解C．(3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有

4、f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．(4)函数零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0.(5)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，

5、这个c也就是方程f(x)＝0的实数解．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．(　　)(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．(　　)(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)＝x2＋3x的零点是________．(2)若函数f(x)在区间(2,5)上单调递减，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)<0，则函数f(x)在区间(2,5)上

6、零点的个数是________．(3)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在的区间为________．答案　(1)0和－3　(2)1　(3)(1.25,1.5)题型一求函数的零点例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝.[解]　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，

7、得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.金版点睛求函数零点的方法函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常有两种方法：(1)令y＝0，解方程f(x)＝0的解就是函数的零点；(2)画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．　若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．解　由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a