【教案】两招解决极值点偏移

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1、两招极值点偏移问题一、极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点

2、左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；假设此处在上单调递减，在上单

3、调递增.（2）构造；注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会

4、分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.【例题讲解】【例1】已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若，且，证明：.【解析】容易求得第（1）问：在上单调递增，在上单调递减，的极值是。第（2）问：构造函数所以在R上单增，容易看出（找的就是它，构造的目的就是为了得到是正是负）所以，当x>0时，，不妨设，由（1）知，∵，∴，在上单调递增，∴，∴.原命题得证。一定得构造？答：不。构造也行。证明如下：所以单增，，不妨设，由（1）知，原命题得证。可否构造其他

5、的？答：可以，这里的“2”是极值点的两倍。那答案为什么不给出其他的构造呢？因为那样很繁琐，也破坏了数学的对称美。其中这种构造的美感最强。【例2】函数有两极值点，且.证明：.【解析】令，则是函数的两个零点。令，令易得在区间单调减，单调增，所以，令当时，单调递减，有所以，所以，因为，，在上单调递减所以，即.【例3】已知函数，若，且，证明：.【解析】由函数单调性可知：若，则必有。所以，而，令，则所以函数在为减函数，所以，所以即，所以，所以.【例4】已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：.【解析】不妨设，由题意知，要证不等式成立，只需证明当成立即可。（这里的1是极值点，求导可得

6、）令当时，，令，则,且在上递增，则.【例5】已知函数，其中（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）若函数有极大值为，且方程的两根为，且，证明：.【解析】有a不怕，能算出来的。（1）（1）当时，函数在上单调递增，不可能有两个零点（2）当时，0-极大值的极大值为，由得；因为，所以在必存在一个零点；显然当时，，所以在上必存在一个零点；所以当时，函数有两零点.（2）由（1）可知。当时，的极大值为.令，由又因为在上单调递减，所以，原命题得证.【例8】已知函数，若任意不同的实数满足，求证：.【解析】消参数因为函数在上为减函数，所以原式构造函数，则，则由均值不等式显然可得（当且仅当时

7、取等号），在为减函数，则，得证.题型二利用对数平均不等式两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立.只证：当时，.不失一般性，可设.证明如下：（I）先证：……[不等式构造函数，则.因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式成立；（II）再证：……[不等式构造函数，则.因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而不等式成立；综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立.【例1】已知函数，为常数，若函数有两个零点，