高考数学一轮复习课时跟踪检测（十九）导数与函数的零点问题（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪检测(十九)　导数与函数的零点问题1．设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增．∴f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)方程f

2、(x)＝0恰好有两个实数根，等价于直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有两个交点．∵y＝x3－3x，∴y′＝3x2－3.令y′＞0，解得x＞1或x＜－1；令y′＜0，解得－1＜x＜1.∴y＝x3－3x在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)和(－∞，－1)上为增函数．∴当x＝－1时，y极大值＝2；当x＝1时，y极小值＝－2.∴y＝x3－3x的大致图象如图所示．y＝a表示平行于x轴的一条直线，由图象知，当a＝2或a＝－2时，y＝a与y＝x3－3x有两个交点．故当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．2．(2019·锦州联考)已知函数f(x)＝ex＋

3、ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．解：(1)由f(x)＝ex＋ax－a，得f′(x)＝ex＋a.∵函数f(x)在x＝0处取得极值，∴f′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1.∴f(x)＝ex－x＋1，f′(x)＝ex－1.∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．易知f(x)在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，且f(－2)＝＋3，f(1)＝e

4、，f(－2)＞f(1)，∴f(x)在[－2,1]上的最大值是＋3.(2)f′(x)＝ex＋a.①当a＞0时，f′(x)＞0，f(x)在R上单调递增，且当x＞1时，f(x)＝ex＋a(x－1)＞0；当x＜0时，取x＝－，则f＜1＋a＝－a＜0，∴函数f(x)存在零点，不满足题意．②当a＜0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，则x＝ln(－a)．当x∈(－∞，ln(－a))时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，也是最小值．函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(

5、－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)＞0，解得－e2＜a＜0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．3．(2018·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝lnx＋－(a∈R且a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x∈时，试判断函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点个数．解：(1)f′(x)＝(x＞0)，当a＜0时，f′(x)＞0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，由f′(x)＝＞0，得x＞，由f′(x)＝＜0，得0＜x＜，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当a＜0

6、时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)当x∈时，函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点个数，等价于方程(lnx－1)ex＋x＝m的根的个数．令h(x)＝(lnx－1)ex＋x，则h′(x)＝ex＋1.由(1)知当a＝1时，f(x)＝lnx＋－1在上单调递减，在(1，e)上单调递增，∴当x∈时，f(x)≥f(1)＝0.∴＋lnx－1≥0在x∈上恒成立．∴h′(x)＝ex＋1≥0＋1＞0，∴h(x)＝(lnx－1)ex＋x在x∈上单调递增，∴h(x)min＝h＝－2e＋，h(x)max＝h(e)＝

7、e.∴当m＜－2e＋或m＞e时，函数g(x)在上没有零点；当－2e＋≤m≤e时，函数g(x)在上有一个零点．4．(2019·益阳、湘潭调研)已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．解：(1)当a＝0时，f(x)＝lnx＋x，f(e)＝e＋1，f′(x)＝＋1，f′(e)＝1＋，∴曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－(e＋1)＝(x－e)，即y＝x.(2)f′(x)＝(x＞0)，①当a≤0时，显然f′

8、(x)＞0，f(x)在(